Exercice 27, § 2

a) Soit $A$ un anneau commutatif muni d’une topologie linéaire. Pour toute partie multiplicative $S$ de $A$, on désigne par $A \left\{ S^{-1} \right\}$ le séparé complété de l’anneau $S^{-1}A$ muni de la topologie dont un système fondamental de voisinages de $0$ est formé des idéaux $S^{-1}U_\lambda$, où $(U_\lambda)$ est un système fondamental de voisinages de $0$ dans $A$ formé d’idéaux de $A$. Montrer que $A \left\{ S^{-1} \right\}$ est canoniquement isomorphe à la limite projective des anneaux $S_\lambda^{-1}(A/U_\lambda)$ où $S_\lambda$ est l’image canonique de $S$ dans $A/U_\lambda$. Si $\hat{A}$ est le séparé complété de $A$, $A \left\{ S^{-1} \right\}$ est canoniquement isomorphe à $\hat{A} \left\{ {S'}^{-1} \right\}$, où $S'$ est l’image canonique de $S$ dans $\hat{A}$.

b) Pour que $A \left\{ S^{-1} \right\}$ soit réduit à $0$, il faut et il suffit que, dans $A$, $0$ soit adhérent à $S$. En déduire un exemple où $A$ est séparé et complet, mais où il n’en est pas de même de $S^{-1}A$ pour la topologie définie dans a).

c) Pour tout homomorphisme continu de $A$ dans un anneau linéairement topologisé $B$, séparé et complet, tel que $u(S)$ soit formé d’éléments inversibles dans $B$, montrer que $u = u' \circ j$, où $j : A \to A \left\{ S^{-1} \right\}$ est l’application canonique, et $u'$ est continu ; en outre $u'$ est déterminé de façon unique.

d) Soient $S_1, S_2$ deux parties multiplicatives de $A$, et soit $S'_2$ l’image canonique de S_2 dans A\{S^{-1}\}; définir un isomorphisme canonique de A\{(S_1S_2)^{-1}\} sur A\{S_1^{-1}\}\{S_2'^{-1}\}.

e) Soit $a$ un idéal ouvert de A, et soit $a\{S^{-1}\}$ le séparé complété de $S^{-1}a$ pour la topologie induite par celle de $S^{-1}A$; montrer que $a\{S^{-1}\}$ s’identifie canoniquement à un idéal ouvert de $A\{S^{-1}\}$, et que l’anneau discret $A\{S^{-1}\}/a\{S^{-1}\}$ est isomorphe à $S^{-1}(A/a)$. Inversement, si $a'$ est un idéal ouvert de $A\{S^{-1}\}$, son image réciproque $a$ dans A est un idéal ouvert tel que $a' = a\{S^{-1}\}$. En particulier, l’application $p \to p\{S^{-1}\}$ est une bijection croissante de l’ensemble des idéaux premiers ouverts de A ne rencontrant pas S sur l’ensemble des idéaux premiers ouverts de $A\{S^{-1}\}$.

f) Soit $p$ un idéal premier ouvert dans A, et soit $S = A - p$. Montrer que $A\{S^{-1}\}$ est un anneau local, dont le corps résiduel est isomorphe au corps des fractions de $A/p$.

g) Pour tout élément $f \in A$, on désigne par $A\{f\}$ l’anneau $A\{S_f^{-1}\}$, où $S_f$ est l’ensemble multiplicatif des $f^n(n \geq 0)$. Lorsque $f$ parcourt une partie multiplicative S de A, les $A\{f\}$ forment un système inductif filtrant d’anneaux, dont on désigne par $A\{s\}$ la limite inductive (non munie d’une topologie); définir un homomorphisme canonique

Lorsque $S = A - p$, où $p$ est un idéal premier ouvert de A, montrer que $A\{s\}$ est un anneau local, l’homomorphisme canonique $A\{s\} \to A\{S^{-1}\}$ est local et les corps résiduels de $A\{s\}$ et de $A\{S^{-1}\}$ sont canoniquement isomorphes (cf. chap. II, § 3, exerc. 16).

h) On suppose que la topologie de A est la topologie $m$-adique pour un idéal $m$ de A, que A est séparé et complet, et que $m/m^2$ est un $(A/m)$-module de type fini. Montrer que si $m' = m\{S^{-1}\}$, la topologie de $A' = A\{S^{-1}\}$ est la topologie $m'$-adique, on a $m' = mA'$ et $m'/{m'}^2$ est un $(A'/m')$-module de type fini (utiliser la prop. 14 du n° 10). Si A est noethérien, il en est de même de $A'$.