Bài tập 27, § 2

a) Cho $A$ là một vành giao hoán được trang bị một tôpô tuyến tính. Với mọi tập con nhân $S$ của $A$, ký hiệu $A \left\{ S^{-1} \right\}$ là hoàn thiện tách được của vành $S^{-1}A$ được trang bị tôpô mà hệ cơ sở các lân cận của $0$ được tạo bởi các iđêan $S^{-1}U_\lambda$, trong đó $(U_\lambda)$ là một hệ cơ sở các lân cận của $0$ trong $A$ gồm các iđêan của $A$. Bây giờ chứng minh rằng $A \left\{ S^{-1} \right\}$ đẳng cấu một cách chính tắc với giới hạn xạ ảnh của các vành $S_\lambda^{-1}(A/U_\lambda)$ trong đó $S_\lambda$ là ảnh chính tắc của $S$ trong $A/U_\lambda$. Nếu $\hat{A}$ là hoàn thiện tách được của $A$, thì $A \left\{ S^{-1} \right\}$ đẳng cấu một cách chính tắc với $\hat{A} \left\{ {S'}^{-1} \right\}$, trong đó $S'$ là ảnh chính tắc của $S$ trong $\hat{A}$.

b) Để $A \left\{ S^{-1} \right\}$ bằng $0$, điều kiện cần và đủ là trong $A$, $0$ là phần tử dính của $S$. Suy ra một ví dụ trong đó $A$ tách được và đầy đủ, nhưng điều này không đúng đối với $S^{-1}A$ với tôpô được định nghĩa trong a).

c) Với mọi đồng cấu liên tục của $A$ vào một vành $B$ được tôpô hóa tuyến tính, tách được và đầy đủ, sao cho $u(S)$ gồm các phần tử khả nghịch trong $B$, bây giờ chứng minh rằng $u = u' \circ j$, trong đó $j : A \to A \left\{ S^{-1} \right\}$ là ánh xạ chính tắc, và $u'$ liên tục; hơn nữa $u'$ được xác định một cách duy nhất.

d) Cho $S_1, S_2$ là hai tập con nhân của $A$, và $S'_2$ là ảnh chính tắc của S_2 trong A\{S^{-1}\}; định nghĩa một đẳng cấu chính tắc từ A\{(S_1S_2)^{-1}\} lên A\{S_1^{-1}\}\{S_2'^{-1}\}.

e) Cho $a$ là một iđêan mở của A, và cho $a\{S^{-1}\}$ là hoàn thiện tách được của $S^{-1}a$ đối với tôpô cảm sinh bởi tôpô của $S^{-1}A$; bây giờ chứng minh rằng $a\{S^{-1}\}$ được đồng nhất một cách chính tắc với một iđêan mở của $A\{S^{-1}\}$, và rằng vành rời rạc $A\{S^{-1}\}/a\{S^{-1}\}$ đẳng cấu với $S^{-1}(A/a)$. Ngược lại, nếu $a'$ là một iđêan mở của $A\{S^{-1}\}$, thì ảnh ngược $a$ của nó trong A là một iđêan mở sao cho $a' = a\{S^{-1}\}$. Đặc biệt, ánh xạ $p \to p\{S^{-1}\}$ là một song ánh tăng từ tập các iđêan nguyên tố mở của A không giao với S lên tập các iđêan nguyên tố mở của $A\{S^{-1}\}$.

f) Cho $p$ là một iđêan nguyên tố mở trong A, và cho $S = A - p$. Bây giờ chứng minh rằng $A\{S^{-1}\}$ là một vành địa phương, có trường thặng dư đẳng cấu với trường phân thức của $A/p$.

g) Với mọi phần tử $f \in A$, ta ký hiệu $A\{f\}$ là vành $A\{S_f^{-1}\}$, trong đó $S_f$ là tập hợp nhân của các $f^n(n \geq 0)$. Khi $f$ chạy qua một tập con nhân S của A, các $A\{f\}$ tạo thành một hệ lọc quy nạp của các vành, có giới hạn quy nạp (không được trang bị một tôpô) được ký hiệu là $A\{s\}$; định nghĩa một đồng cấu chính tắc

Khi $S = A - p$, trong đó $p$ là một iđêan nguyên tố mở của A, bây giờ chứng minh rằng $A\{s\}$ là một vành địa phương, rằng đồng cấu chính tắc $A\{s\} \to A\{S^{-1}\}$ là địa phương và rằng các trường thặng dư của $A\{s\}$ và $A\{S^{-1}\}$ là đẳng cấu chính tắc (xem chương II, § 3, bài tập 16).

h) Giả sử rằng tôpô của A là tôpô $m$-adic đối với một iđêan $m$ của A, rằng A là tách được và đầy đủ, và rằng $m/m^2$ là một $(A/m)$-môđun có kiểu hữu hạn. Chứng minh rằng nếu $m' = m\{S^{-1}\}$, tôpô của $A' = A\{S^{-1}\}$ là tôpô $m'$-adic, ta có $m' = mA'$ và $m'/{m'}^2$ là một $(A'/m')$-môđun có kiểu hữu hạn (dùng mệnh đề 14 của No. 10). Nếu A là Noether, điều tương tự cũng đúng đối với $A'$.