习题 9, § 1

(a) 令 $(\mathfrak{a}_i)_{i=1}^n$ 为环 $A$ 的有限理想族，它们在对中互素，并且没有 $\mathfrak{a}_i$ 属于形式 $b c = b \cap c$，其中 $b$ 和 $c$ 是两个互素理想。 If $(\mathfrak{a}'_j)_{1 \leq j \leq m}$ is another family of ideals of $A$ which are relatively prime in pairs, such that $a_1 a_2 \ldots a_n = a'_1 a'_2 \ldots a'_m$, show that $m \leq n$; if $r n = n$, there exists a permutation $\pi$ on $[1, n]$ such that $a'_i = a_{\pi(i)}$ for $1 \leq i \leq n$ (use Proposition 5 and Algebra, Chapter VIII, § 1, Exercise 1 (d)).

(b) 设$A$为诺特环。证明$A$的每个理想$\mathfrak{a}$等于对中互素理想的有限数的乘积，其中没有一个是两个互素理想中的乘积。 （考虑到理想的集合中的极大元素没有这个性质，通过归约和荒谬论证。）