习题 7, § 1

令$A = \prod_{i=1}^n A_i$为环有限族中的乘积，即A，与A的理想被规范地等同。令B为A的子环，使得pr_iB = A，对于$1 \leq i \leq n$。

(a) 证明，如果 A 为诺特（分别为阿廷的），B 为诺特（分别为阿廷的）（cf. 代数、章 VIII, § 2、习题 12）。

(b) 令 n, 为 B 的理想，即 pr, 到 B 的限制的核。证明 B 的每个素理想 p 都包含在 n_i (应用命题 1) 之一中；推出，对于这个指标 i, pr, p ≠ A,。证明，如果 A, 包含中的每一个都只有有限数 k 个最大理想，则 B 包含最多有 $\sum_{i=1}^n k_i$ 最大理想。

(c) 令％(A)、R(B)分别为A和B的雅各布森自由基。证明 R(B) = B ∩ % (A)。如果每个 A_i 包含只有有限的数极大理想，则表明，对于每个整数 $k > 1$，对于所有 i，pr_i((R(B))^k) = (R(A_i))^k 并且 (R(B))^k = (R(A))^k ∩ B （将 R(B) 写为乘积不同的最大理想，注，如果 m 是 B 的最大理想，使得 pr_i(m) = m_i 是 A_i 的最大理想，则 pr_i(m^k) = m_i^k)。