习题 13, § 4

令$k$为域且$A$多项式环$k[X, Y]$。 (a) 令$m$为$A$的最大理想$AX + AY$；证明存在$m$到$A$的伪同构，但不存在$A$到$m$的伪同构。 (b) 令$m'$为$A$的最大理想$A(X - 1) + AY$；表明$c(m) = c(m') = 0$，但不存在$m$到$m'$的伪同构，也不存在$m'$到$m$的伪同构。 (c) 令$p = AX, q = AY$为高度1的素理想。在$A$模$L = A^2$中，考虑子模$M = pe, @ qe_2, N = Ae, @ pqe, (e_1, e_2$为$L$的典范基的向量）。证明$M$和$N$同构的，并且存在从$L/M$到$L/N$的伪同构和从$L/N$到$L/M$的伪同构，但不存在从$L$到自身映射的伪同构$M$到$N$或$N$到$M$（观察从$L$到自身的伪同构必然是$L$的自同构，借助命题10）。