Bài tập 13, § 4

Cho $k$ là một trường và $A$ là vành đa thức $k[X, Y]$. (a) Cho $m$ là iđêan cực đại $AX + AY$ của $A$; chứng minh rằng tồn tại một giả đẳng cấu từ $m$ đến $A$, nhưng không tồn tại giả đẳng cấu nào từ $A$ đến $m$. (b) Cho $m'$ là iđêan cực đại $A(X - 1) + AY$ của $A$; chứng minh rằng $c(m) = c(m') = 0$, nhưng không tồn tại giả đẳng cấu nào từ $m$ đến $m'$ cũng như từ $m'$ đến $m$. (c) Cho $p = AX, q = AY$, là các iđêan nguyên tố có chiều cao 1. Trong $A$-môđun $L = A^2$, xét các môđun con $M = pe, @ qe_2, N = Ae, @ pqe, (e_1, e_2$ là các vectơ của cơ sở chính tắc của $L$). Chứng minh rằng $M$ và $N$ là đẳng cấu và rằng tồn tại một giả đẳng cấu từ $L/M$ đến $L/N$ và một giả đẳng cấu từ $L/N$ đến $L/M$ nhưng không tồn tại giả đẳng cấu nào từ $L$ đến chính nó biến $M$ thành $N$ hoặc $N$ thành $M$ (lưu ý rằng một giả đẳng cấu từ $L$ đến chính nó nhất thiết là một tự đẳng cấu của $L$, với sự trợ giúp của Mệnh đề 10).