Exercice 13, § 4

Soient $k$ un corps, A l’anneau de polynômes $k[X, Y]$.

a) Soit $m$ l’idéal maximal $AX + AY$ dans $A$; montrer qu’il existe un pseudo-isomorphisme de $m$ dans $A$, mais qu’il n’existe aucun pseudo-isomorphisme de $A$ dans $m$.

b) Soit $m'$ l’idéal maximal $A(X - 1) + AY$ de $A$; montrer que l’on a $c(m) = c(m') = 0$, mais qu’il n’existe aucun pseudo-isomorphisme de $m$ dans $m'$ ou de $m'$ dans $m$.

c) Soient $p = AX, q = AY$, qui sont des idéaux premiers de hauteur 1. Dans le A-module $L = A^2$, on considère les sous-modules $M = pe_1 \oplus qe_2, N = Ae_1 \oplus pqe_2$ ($e_1, e_2$ étant les vecteurs de la base canonique de $L$). Montrer que $M$ et $N$ sont isomorphes et qu’il existe un pseudo-isomorphisme de $L/M$ dans $L/N$ et un pseudo-isomorphisme de $L/N$ dans $L/M$ mais qu’il n’existe aucun pseudo-isomorphisme de $L$ dans lui-même appliquant $M$ dans $N$ ou appliquant $N$ dans $M$ (observer qu’un pseudo-isomorphisme de $L$ dans lui-même est nécessairement un automorphisme de $L$, à l’aide de la prop. 10).