习题 6, § 4

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代数, II, 397

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令 $A, B$ 为两个环， $E$ 为左 $A$ 模块， $F$ 为 $(A, B)$ 双模块， $G$ 为右 $B$ 模块。 (a) 证明存在且仅有一个 $\mathbf{Z}$ -线性映射

\sigma : \mathrm{Hom}_B(F, G) \otimes_A E \to \mathrm{Hom}_B(\mathrm{Hom}_A(E, F), G)

这样对于

x \in E

和

u \in \mathrm{Hom}_B(F, G)

，

\sigma(u \otimes x)

是

\mathrm{Hom}_A(E, F)

到

G

的映射

v \mapsto u(v(x))

。 (b) 如果

E

是有限生成的射影

A

模，则证明

\sigma

是双射的。 (c) 假设

G

是单射

B

模（§ 2，习题11），并且

E

是

A

线性映射

A_s^m \to A_s^n

的余核。证明

\sigma

是双射（从正合序列

A_s^m \to A_s^n \to E \to 0

开始并使用（b），单射模的定义和§ 2, no. 1的定理1，以及§ 3, no. 6的命题5）。

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。