Bài tập 6, § 4

Cho $A, B$ là hai vành, $E$ là một $A$-môđun trái, $F$ là một $(A, B)$-song môđun và $G$ là một $B$-môđun phải. (a) Chứng minh rằng tồn tại một và chỉ một ánh xạ $\mathbf{Z}$-tuyến tính

sao cho với $x \in E$ và $u \in \mathrm{Hom}_B(F, G)$, $\sigma(u \otimes x)$ là ánh xạ $v \mapsto u(v(x))$ từ $\mathrm{Hom}_A(E, F)$ vào $G$. (b) Nếu $E$ là một $A$-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn, chứng minh rằng $\sigma$ là song ánh. (c) Giả sử rằng $G$ là một $B$-môđun đơn ánh (§ 2, Bài tập 11) và $E$ là đối hạt nhân của một ánh xạ $A$-tuyến tính $A_s^m \to A_s^n$. Chứng minh rằng $\sigma$ là song ánh (xuất phát từ dãy khớp $A_s^m \to A_s^n \to E \to 0$ và dùng (b), định nghĩa các môđun đơn ánh và Định lý 1 của § 2, no. 1, và Mệnh đề 5 của § 3, no. 6).