Exercice 6, § 4

Soient A, B deux anneaux, E un A-module à gauche, F un (A, B)-bimodule, G un B-module à droite. a) Montrer qu’il existe une application $\mathbf{Z}$-linéaire et une seule

telle que pour $x \in E, u \in \mathrm{Hom}_B(F, G)$, $\sigma(u \otimes x)$ soit l’application $v \mapsto u(v(x))$ de $\mathrm{Hom}_A(E, F)$ dans G. b) Si E est un A-module projectif de type fini, montrer que $\sigma$ est bijective. c) On suppose que G soit un B-module injectif (II, p. 184, exerc. 11) et que E soit le conoyau d’une application A-linéaire $A_s^m \to A_s^n$. Montrer que $\sigma$ est bijective (partir de la suite exacte $A_s^m \to A_s^n \to E \to 0$, et utiliser b), la définition des modules injectifs, ainsi que le th. 1 de II, p. 36 et la prop. 5 de II, p. 58).