习题 9, § 2

给定 A-模 E，对于 E 的每个子模 M（分别为 $E^*$ 的每个子模 $M'$），令 $M^\circ$（或 ${M'}^\circ$）表示 M 在 $E^*$ 中的正交（分别为 $M'$ 的正交）在E）中。考虑以下四个属性： (A) 典范同态 $c_E : E \to E^{**}$ 是双射的。 (B) 对于 E 的每个子模 M，典范同态 $E^*/M^\circ \to M^*$ 是双射的。 (C) 对于 E 的每子模 M，$M^{\circ\circ} = M$。 (D) 对于子模 M 中的每有序对，E 中的 N，

(a) 证明条件 (B) 蕴含 (D)（证明对于 $x^* \in (M \cap N)^\circ$，存在 $y^* \in E^*$，使得 $\langle x + y, y^* \rangle = \langle x, x^* \rangle$ 对于 $x \in M$ 和 $y \in N$）。

(b) 设 A 为环，没有零的除子，但没有左分式的域*（对于维数的向量空间例张量代数 > 1， cf.III, § 5、习题5)*。如果我们取 $E = A_s$，条件 (A) 满足，但条件 (B)、(C)、(D) 均不满足（对于例，其中 (B)、(C)、(D) 成立，但 (A) 不成立，参见 § 7, no. 5、定理 6).

(c) 取A为乘积环$K^I$，其中K为交换域和I无限集合。证明A-模$E = A$满足条件(A)和(B)，但不满足(C)（观察A的理想湮没子都是形式$K^J$，其中$J \subset I$）。

(d) 假设对于 E 的两个子模 M、N，使得$N \subset M$和$N \neq M$，对偶$(M/N)^*$非零；然后证明条件 (B) 蕴涵 (C)。

(e) $c_E$ 的核是 E 中 $E^*$ 的正交 $(E^*)^\circ$。给出例，其中 $E^*$ 和 $(E^*)^\circ$ 都不为 0（考虑模包含元素，其湮没子包含元素不是 0 的除子）。

(f) 令 M 为 E 的直因子；证明$M^{\circ\circ} = M + (E^*)^\circ$。