习题 5, § 6

令$E$为有限维$n$除以域$K$的向量空间。 (a) 证明对于每个整数 $m$，阶 $m$ 的对称逆变张量的对称幂 $S^m(E)$ 和向量空间 $S'_m(E)$ 具有相同的维数 $\binom{m+n-1}{n-1} = \binom{n+m-1}{m}$。 (b) 如果$K$具有特征$p > 0$，则表明阶$p$对称化张量的向量空间$S''_p(E)$有维数$\binom{n}{p}$（观察如果，在张量积 $E$$p$向量$x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_p$，$x_i = x_j$对于不同的指标$i, j$有序对，则该乘积的对称性为零； $(H_i)_{1 \leq i \leq r}$ 是 $\{1, 2, \ldots, p\}$ 的划分到非空集合中，至少包含两个集合、$S_p$ 的子群，而每个 $H_i$ 稳定的阶不能被$p$整除）。另一方面，阶$p$对称张量$S^p(E)$中的典范像空间$S'_p(E)$维数$n$由张量像生成$x \otimes x \otimes \cdots \otimes x$（$p$次），其中$x \in E$（使用相同的注）；因此，$S'_p(E)$到$S^p(E)$的典范映射不是双射的，尽管两个向量空间具有相同的维数。