习题 1, § 13

令$K$为特征$p > 0$的域和$K$的$E$扩张； $E$ 是$K(E^p)$ 高度$\leq 1$ 的$p$ 激进延伸。 $E$超过$K(E^p)$的$p$基数（cf.V、p. 103、Th.2）的基数被称为$E$超过$K$的不完美的次数。如果$K(E^p) = E$、$E$据说比$K$相对完美；如果$E$是完美的，那么它相对于它的每个子域来说都是相对完美的。 $K$的不完美的（绝对）次数是$K$的不完美在其全盛子域$F_p$的次数，或者也是$K$的（绝对）$p$基础的基数。 a) 如果$B$是$E$超过$K(E^p)$的$p$基，则表明对于每个整数$k > 0$我们有$E = K(E^{p^k})(B)$。 b) 假设 $E \subset K^{p^{-n}}$ 对应整数 $n > 0$。证明对于次数 $[E : K]$ 是有限的，$E$ 的不完美$m_0$ 的次数超过 $K$ 应该是有限的；那么$m_0$是集合$S$的最小基数使得$E = K(S)$。证明如果$m_k$是$K(E^{p^k})$的不完美超过$K$的次数，则$m_{k+1} \leq m_k$对于所有$k$，如果$f = \sum_k m_k$，则$[E : K] = p^f$。