习题 9, § 7

设 K 为域。 (a) 在向量空间$E = K_s^{(\mathbf{Z})}$中，设$(e_n)_{n \in \mathbf{Z}}$表示典范基；对于所有 $n \in \mathbf{Z}$，令 v 为由关系 $v(e_n) = e_{n+1}$ 定义的 E 的自同构。如果$u = 1_E - v$，证明u是E的单射自同态，但是$\dim(\mathrm{Coker}(u)) = 1$。 (b) 在向量空间$E = K_s^{(\mathbf{N})}$中，设$(e_n)_{n \in \mathbf{N}}$表示典范基；令 v 为由 $v(e_0) = e_0, v(e_n) = e_{n-1} + e_n$ 对于 $n \geq 1$ 定义的 E 的自同态。证明 v 是 E 的自同构，并且如果 $u = 1_E - v$，则 u 是 E 的满射自同态，使得 $\dim(\mathrm{Ker}(u)) = 1$。 (c) 令 I 为非空集合。证明向量空间$E = K_s^{(I)}$的每个自同构u都可以写成E的两个自同构的差$u = v - w$，除非K只有两个元素并且I由单个元素组成。 （注足以证明一个特定的自同构 u 是所需的形式；当K为域且有两个元素时，分别考虑$\mathrm{Card}(I) = 2$和$\mathrm{Card}(I) = 3$的情况。）