习题 16, § 1

设A为环，使得存在A-模M，其中生成的系统为n元素，但包含有一个$n + 1$元素的自由系统。

(a) 证明$A_s^n$中存在$n + 1$元素的自由系统。

(b) 推论出 M 中存在无限自由系统（构造这样的系统 by 归纳使用（a））。

(c) 令C为环，E为自由C模块$C_s^{(N)}$，$(e_n)$为典范基，E的A自同态环。令$u_1$和$u_2$表示自同态对于所有$n \geq 0$，由条件$u_1(e_{2n}) = e_n, \quad u_1(e_{2n+1}) = 0, \quad u_2(e_{2n+1}) = e_n, \quad u_2(e_{2n}) = 0$定义的E。证明A-模$A_s$的$u_1$和$u_2$形式基，并推导出A-模$A_s$中存在无限自由系统。

(d) 设 A 为向量空间的张量代数，E 为维数 $\geq 2$ 的交换域 (cf. III, § 5, no. 1)。证明在A-模$A_s$中存在无限自由系统（观察E中两个线性无关的向量在$A_s$中线性无关并使用（b））。另一方面，对于每个整数$n > 0$，A-模$A_s^n$的每个基都有$n$元素（cf.§ 7, no. 2，命题3）。