习题 25, § 11

令C为余代数超过环A。如果c(S) ⊂ Im(S ⊗ C) + Im(C ⊗ S)，则C的子A模S称为余理想。如果 C 是共理想，并且余单位 γ，则当 x ∈ S 时 γ(x) = 0 时，共理想 S 被称为共空 (conull)。

(a) 右余理想或左余理想都是余理想。每一个和的 coideal 都是一个 coideal。 (b) 如果 S 是 C 的共理想，则正交 S^0 是对偶代数 C* 的子代数。如果 C 是单位且 S 是单位，则 S^0 是单位。 (c) 假设 A 是域并且 C 是一个余代数。证明如果 E' 是 C* 的单位子代数，且单位元与 C* 相同，则 C 中的正交 E'^0 是共理想。 (d) 如果 S 是 C 的余理想，证明C/S 上存在且仅有一个余代数结构，使得典范映射 p: C → C/S 为余代数态射。如果 C 是共体且 S 是共体，则 C/S 是共体。 (e) 对于每个余代数态射 f: C → C'，S = Ker(f) 是 C 的余理想，S' = Im(f) C' 的子余代数，并且在规范因式分解中

f、g 为余代数同构。

(26) 令 C 为交换域 K 上的共联想单位余代数。

(a) 对于 C 的每个向量子空间 E，它是律 (u, x) ↦ u ↼ x 下的左 C* 模，该 C* 模的左湮没子是一个双面理想 J' 代数C*。证明如果 E 在 K 上是有限维的，则 C*/J' 是有限维的。 (b) 从(a)推导出，对于每个元素 x ∈ C，由x生成的C的子余代数是有限维的。 （注 x 生成的C*-模 E 是有限维的，并且如果 J' 是其左湮没子，则 x ∈ J'^0，即 J' 在 C 中的正交。）

(27) 设 B 为交换域 K 上的结合单位代数，并令 m: B ⊗_K B → B 为 K-线性映射，在 B 上定义乘法。 张量积 B* ⊗_K B* （其中 B* 是对偶向量空间向量空间 B) 被规范地标识为 (B ⊗_KB)* (II, § 7, no. 7, 命题 16) 的向量子空间。

(a) 证明对于元素 w ∈ B*，以下条件是等价的： (1) ^t m(w) ∈ B* ⊗ B*； (2) x ↼ w 的集合，其中x穿过B，是B*的有限维子空间； (3) w ↼ x 的集合，其中x穿过B，是B*的有限维子空间； (4) x ↼ w ↼ y 的集合，其中 x 和 y 穿过 B，包含在 B* 的有限维子空间中。

(b) 令$B' \subset B^*$为$w \in B^*$满足中的集合，相当于(a)中的条件。证明$^t m(B') \subset B' \otimes_K B'$。 （对于$w \in B'$，写成$^t m(w) = \sum_i u_i \otimes v_i$，其中对于例，$u_i$在$B^*$中是线性独立的；表明，然后使用$B$的结合性并通过*归谬法论证，$v_i \in B'$对于所有$i$。）因此，$B'$ 是$B^*$ 中包含的*最大的余数*a，其中$^t m$ 是余积。 $B'$ 被称为代数 $B$ 的*对偶余数*a。当$B$是有限维时，$B' = B^*$。

(c) 证明如果 $B$ 是交换域的无限维数超过 $K$，则$B' = \{0\}$。 （注，$x \perp w$的集合的正交，对于同样的$w \in B^*$，$x$贯穿$B$，是$B$的理想。）

(d) 设$B_1, B_2$是两个$K$-代数，$f : B_1 \to B_2$是代数的一个$K$同态。证明 $^t f(B'_2) \subset B'_1$ 和 $^t f$（仅限于 $B'_2$）是 $B'_2$ 到 $B'_1$ 的余数*a 同态。

(e) 如果 $C$ 是 $K$ 上的共联想联合余数 a，则将向量空间 $C$ 的典范嵌入 $C \to C^{**}$ 转换成其对数映射 $C$ 到子空间 $(C^*)'$，代数$C^*$对偶于$C$，并且是$C$到$(C^*)'$的对偶余数a同态。