习题 3, § 7

(a) 设 G 为群，M 为 G 的无限子集。证明，如果 $G'$ 是 M 生成的 G 的子群，则$\mathrm{Card}(G') = \mathrm{Card}(M)$。

(b) 设 K 为域，M 为 K 的无限子集。证明，如果 $K'$ 是 M 生成的 K 的子域，则$\mathrm{Card}(K') = \mathrm{Card}(M)$。 （考虑 K 的子集的两个序列 $(A_n)_{n \geq 0}$、$(P_n)_{n \geq 0}$，使得 $A_0 = M$、$P_n$ 是由 $A_n \cap K^*$ 和 $A_{n+1}$ K 的加法子群生成的 $K^*$ 的乘法子群由 $P_n$ 生成，然后应用 (a)。）

(c) 令K为域且I无限集合；证明$\mathrm{Card}(K) \leq \dim(K_s^I)$。 （约化与情况 $I = \mathbf{N}$ 并通过反证法论证。设 B 为 $K_s^\mathbf{N}$ 的基，使得 $\mathrm{Card}(B) < \mathrm{Card}(K)$，并令 L 为由 B 的所有元素的坐标生成的 K 的子域；然后$\mathrm{Card}(L) < \mathrm{Card}(K)$。 K 的元素的形式序列 $(\xi_n)_{n \geq 1}$，使得对于所有 n，$\xi_n$ 不L 生成的 K 的属于到子域以及指标 $i < n$ 的$\xi_i$，则适用； 习题 2 通过考虑 $K_s^\mathbf{N}$ 的点 $x = (\xi_n)$ 来获得矛盾。）

(d) 从 (c) 推出对于每个域 K 和每个无限集合 I，

（“Erdös–Kaplansky 定理”）。