习题 2, § 5

令I和J为两个有限集合，I_0 = I∪{α}，J_0 = J∪{β}，其中α和β分别为两个元素而非属于到I和J，并假设I_0和J_0为不相交的。令 E 为有限秩与交换域 K 的向量空间，令 z 为 T_J^I(E) 的元素。对于所有 i ∈ I，令 W_i' 为 x* ∈ E* 的 E* 由……组成的子空间，使得 c_β^i(z ⊗ x*) = 0 （c_β^i 是指标 i ∈ I 和指标 β ∈ J_0 的收缩T_{J_0}^I(E)) 并令 V_i 为与 W_i' 正交的 E 的子空间。对于所有 j ∈ J，令 W_j 为 x ∈ E 的 E 由……组成的子空间，使得 c_j^α(z ⊗ x) = 0 （c_j^α 是 T_{J_0}^{I_0}(E) 中指标 α ∈ I_0 和指标 j ∈ J 的收缩）并令V_j' 是与 W_j 正交的 E* 的子空间。证明 z 属于到张量积 $\left( \bigotimes_{i \in I} V_i \right) \otimes \left( \bigotimes_{j \in J} V_j' \right)$ 与 T_J^I(E) 的子空间规范一致。此外，如果 (U_i)_{i \in I} 是 E 的子空间族，则 (U_j')_{j \in J} 是 E* 的子空间族，使得 z 属于到张量积 $\left( \bigotimes_{i \in I} U_i \right) \otimes \left( \bigotimes_{j \in J} U_j' \right)$，用子空间标识T_J^I(E)，则对于所有 i I 和 j ∈ J (cf. II, § 7, no. 8，命题 17)，V_i ⊂ U_i 和 V_j' ⊂ U_j'。