习题 20, § 7

令 E 为向量空间。

(a) 证明如果M和N分别是E和$M', N'$在$E^*$中$M$和$N$的正交的两个向量子空间，则$M \cap N$的正交为$M' + N'$(cf.§ 2， 习题 9 (a))。

(b) 如果$E$是无限维的，证明存在$E^*$的超平面$H'$使得$E$的子空间与$H'$约化正交于0（考虑超平面包含坐标） 形式相应的至基共$E$）。

(c) 证明如果$E$是无限维的，则存在$E$的子空间的无限族$(V_i)$，这样，如果$V'_i$是与$V_i$正交的$E^*$的子空间，则子空间是与 $\bigcap_i V_i$ 正交的 $E^*$ 与 $\sum_i V'_i$ 不同。

(d) 由(b)推导出，若$E$为无限维，则$E^*$存在分解$V' \oplus W'$，因为直和，$W'$为有限维，其中子空间的和$V + W$分别与$V'$和$W'$正交的$E$的$V, W$与$E$不同。

(e) 为了使$E$的子空间是有限维的，其在$E^*$中的正交是有限余维是充分必要的。