习题 9, § 4

(a) 验证以下乘法表定义两个幂零李代数 $g_3, g_4$ 维数 3 和 4：

(b) 如果 $K$ 具有特征 2，则证明 $g_3$ 与 $\mathfrak{n}(3, K)$ 同构的，也与 $\mathfrak{sl}(2, K)$ 同构的。

(c) 令 $g_1$ 为维数 1 中唯一的李代数。 证明维数 $\leq 4$ 的幂零李代数由以下表给出：

（使用习题 7 (c)。 如果$g$是幂零的、3维的且$\dim \mathscr{D} g = 1$，则观察$\mathscr{D} g$包含在$g$ (习题 3 (a))、从而 $g = g_3$的中心中。 如果$\dim g = 4$，$\dim \mathscr{D}g = 1$，观察$g$ 定义交错的双线性形式上的$g / \mathscr{D}g$上的括号，它必然是退化的，因此存在中心中包含的$g$的子代数$h$ $g$ 与 $\dim h = 1$、$h \cap \mathscr{D}g = \{0\}$、从而 $g = h \times g_3$。 如果 $\dim g = 4$, $\dim \mathscr{D}g = 2$, $\mathscr{D}g$ 是可交换的； $\mathrm{ad}_g x$($x \in g$)的应用定理1到限制到$\mathscr{D}g$，表明存在$g$与$h \supset \mathscr{D}g$、$\dim h = 3$的交换理想$h$；让$x \in g$，$x \notin h$； $h$的选择基使得$\mathrm{ad}_g x$到$h$的限制相对于该基有乔丹矩阵；然后$g = g_4$。