习题 11, § 3

设$\mathfrak{g}$为李代数，$\mathfrak{r}$为其根式。

a) 令 $\mathfrak{s}$ 为 $\mathfrak{g},\mathfrak{k}$ 嘉当子代数 $\mathfrak{s}$ 的列维子代数。证明$\mathfrak{k}$包含在$\mathfrak{g}$的嘉当子代数$\mathfrak{h}$中，即$\mathfrak{k}$的和和$\mathfrak{r}$的子代数。 （使用 §2、Th.2、Prop.10 和 Th.1 的 Cor.2。）

b) 设$\mathfrak{h}'$为$\mathfrak{g}$的嘉当子代数。证明存在 $\mathfrak{g}$ 的 Levi 子代数 $\mathfrak{s}'$，使得$\mathfrak{h}'$ 是$\mathfrak{s}'$ 的嘉当子代数的和和$\mathfrak{r}$ 的子代数。 ($a$中的子代数$\mathfrak{s},\mathfrak{k},\mathfrak{h}$)可以被选择以便$\mathfrak{h}+\mathfrak{r}=\mathfrak{h}'+\mathfrak{r}$。设$\mathfrak{a}=\mathfrak{h}+\mathfrak{r}$，可解。由 Th. 3、存在$x\in \mathscr{C}^{\infty}(\mathfrak{a})$使得$e^{ad_{\mathfrak{a}}x}\mathfrak{h}=\mathfrak{h}'$。那么$e^{ad_{\mathfrak{g}}x}$是$\mathfrak{g}$的特殊自同构，其中变换$\mathfrak{s}$转换为所需的Levi子代数。）

c) 令$\mathfrak{s}$为$\mathfrak{g}$的列维子代数。令$\mathfrak{h}$为$\mathfrak{g}$的嘉当子代数，即$\mathfrak{s}$的嘉当子代数$\mathfrak{k}$的和和$\mathfrak{r}$的子代数$\mathfrak{l}$。设$\mathfrak{c}$为$\mathfrak{k}$在$\mathfrak{r}$的交换子。证明 $\mathfrak{l}$ 是 $\mathfrak{c}$ 的嘉当子代数。 （对于 $x\in \mathfrak{k}$，ad$_{\mathfrak{g}}x$ 是半单，但 ad$_{\mathfrak{h}}x$ 是幂幂的，因此 $[\mathfrak{k},\mathfrak{h}] = 0$。如果 $y\in \mathfrak{c}$ 使得 $[y,\mathfrak{l}]\subset \mathfrak{l}$，则 $[y,\mathfrak{h}]\subset \mathfrak{h}$ 使得 $y\in \mathfrak{h}\cap \mathfrak{r}=\mathfrak{l}.$）

d) 令$\mathfrak{s}$为$\mathfrak{s},\mathfrak{c}$的$\mathfrak{g},\mathfrak{k}$嘉当子代数的列维子代数，$\mathfrak{c}$的$\mathfrak{r},\mathfrak{l}$嘉当子代数中$\mathfrak{k}$的交换子。那么$\mathfrak{h}=\mathfrak{k}+\mathfrak{l}$就是$\mathfrak{g}$的嘉当子代数。 （令$x=y+z(y\in \mathfrak{s}, z\in \mathfrak{r})$为$\mathfrak{g}$中$\mathfrak{h}$的归一化器$\mathfrak{u}$的元素。证明$[y,\mathfrak{k}]\subset \mathfrak{k}$，因此$y\in \mathfrak{k}$和$z\in \mathfrak{u}$。然后证明$[z,\mathfrak{k}]\subset \mathfrak{h}\cap \mathfrak{r}\subset \mathfrak{c}$，因此$[\mathfrak{k},[\mathfrak{k}, z]] = 0$，因此$[\mathfrak{k}, z] = 0$ 和$z\in \mathfrak{c}$。最后，$[z,\mathfrak{l}]\subset \mathfrak{l}$ 因此$z\in \mathfrak{l}$ 和$x\in \mathfrak{h}.$）

e) 令 $\mathfrak{s},\mathfrak{k},\mathfrak{c}$ 如 d) 中那样，且 $\mathfrak{q}= [\mathfrak{g},\mathfrak{r}]$ $\mathfrak{g}$ 的幂零根。 让$x\in \mathfrak{q}$和$u$特殊的自同构$e^{adx}$。 如果$u(\mathfrak{k})\subset \mathfrak{k}+\mathfrak{c}$，则$x\in \mathfrak{c}$。 （考虑$\mathfrak{q}$上$\mathfrak{s}$的伴随表示$\rho$，并令$\mathfrak{q}_i$为$\rho$下稳定的$\mathscr{C}^i\mathfrak{q}$中$\mathscr{C}^{i+1}\mathfrak{q}$的补；令$\rho_i$为$\rho$的子表示，定义为$\mathfrak{q}_i$。 让$\sigma_i=\rho_i|\mathfrak{k}$。 设$\mathfrak{q}'_i$是$\mathfrak{q}_i$中$\mathfrak{k}$的交换子，$\mathfrak{q}''_i$是$\mathfrak{q}_i$中$\mathfrak{q}'_i$的补集，在$\sigma_i$下稳定。 让 $x=x'_1+x''_1+\cdots +x'_n+x''_n$ 与 $x'_i\in \mathfrak{q}'_i, x''_i\in \mathfrak{q}''_i$。 通过反证法，假设$x''_i$不全是零，对于例，$x''_1=\cdots =x''_{p-1}= 0$、$x''_p\not= 0$。 如果 $h\in \mathfrak{k},u(h) =h+ [x''_p, h] +y$ 与 $y\in \mathscr{C}^{p+1}\mathfrak{q}$。 由于$u(h)\in \mathfrak{k}+\mathfrak{c}$，这给出$[x''_p, h] +y\in \mathfrak{q}'_p+\mathfrak{q}'_{p+1}+\cdots +\mathfrak{q}'_n$，因此$[h, x''_p]\in \mathfrak{q}'_p$，所以$[h, x''_p] = 0$。 那么$x''_p= 0$，矛盾。）

f) 设$\mathfrak{h}$为$\mathfrak{g}$的嘉当子代数。那么$\mathfrak{h}$可以唯一地表示为$\mathfrak{h}\cap \mathfrak{r}$的和和$\mathfrak{g}$的李维子代数的嘉当子代数。 （对于唯一性，请使用$e$）和Th。第 5 章I, §6, no. 8。）所讨论的李维子代数总体来说并不是唯一的。

g) 设$\mathfrak{h}$为$\mathfrak{g}$和$\mathfrak{t}=\mathfrak{g}^0(\mathfrak{h}\cap \mathfrak{r})$的嘉当子代数。那么$\mathfrak{h}$就是$\mathfrak{t}$的嘉当子代数。我们有$\mathfrak{g}=\mathfrak{t}+\mathfrak{r}$（使用Fitting 分解作为$\mathfrak{h}\cap \mathfrak{r}$在$\mathfrak{g}$上的伴随表示）。 代数 $\mathfrak{t}\cap \mathfrak{r}$ 是 $\mathfrak{t}$ 的根，并且是幂零的（使用 §2 的练习 5）。

h) 假设 $k$ 是代数闭的。设$\mathfrak{h}$为$\mathfrak{g}$的嘉当子代数。存在子代数 $\mathfrak{s}$ $\mathfrak{g}$，使得对于所有 $\lambda \in \mathfrak{h}^*$，

（对于$g$的记号），取$\mathfrak{s}$一个$\mathfrak{t}$的列维子代数，使得$\mathfrak{h}=$$(\mathfrak{h}\cap \mathfrak{s}) + (\mathfrak{h}\cap \mathfrak{r})$； $b).)^7$ 存在