Exercice 11, § 3

Soient $g$ une algèbre de Lie, $r$ son radical. a) Soient $s$ une sous-algèbre de Levi de $g$, $f$ une sous-algèbre de Cartan de $s$. Montrer que $f$ est contenue dans une sous-algèbre de Cartan $h$ de $g$, somme de $f$ et d’une sous-algèbre de $r$. (Utiliser le $§ 2$, th. 2, prop. 10 et cor. 2 du th. 1). b) Soit $h'$ une sous-algèbre de Cartan de $g$. Montrer qu’il existe une sous-algèbre de Levi $s'$ de $g$ telle que $h'$ soit somme d’une sous-algèbre de Cartan de $s'$ et d’une sous-algèbre de $r$. (On peut choisir les sous-algèbres $s, f, h$ de $a$) de telle sorte que $h + r = h' + r$. Posons $a = h + r$, qui est résoluble. D’après le th. 3, il existe $x \in C^\infty(a)$ tel que $e^{\operatorname{ad}_a x} h = h'$. Alors $e^{\operatorname{ad}_a x}$ est un automorphisme spécial de $g$ qui transforme $s$ en la sous-algèbre de Levi cherchée.) c) Soit $s$ une sous-algèbre de Levi de $g$. Soit $h$ une sous-algèbre de Cartan de $g$, somme d’une sous-algèbre de Cartan $f$ de $s$ et d’une sous-algèbre $l$ de $r$. Soit $c$ le commutant de $f$ dans $r$. Montrer que $l$ est une sous-algèbre de Cartan de $c$. (Pour $x \in f$, $\operatorname{ad}_g x$ est semi-simple, mais $\operatorname{ad}_h x$ est nilpotent, donc $[f, h] = 0$. Si $y \in c$ est tel que $[y, l] \subset l$, on a $[y, h] \subset h$ donc $y \in h \cap r = l$.) d) Soient $s$ une sous-algèbre de Levi de $g$, $f$ une sous-algèbre de Cartan de $s$, $c$ le commutant de $f$ dans $r$, $l$ une sous-algèbre de Cartan de $c$. Alors $h = f + l$ est une sous-algèbre de Cartan de $g$. (Soit $x = y + z$ ($y \in s, z \in r$) un élément du normalisateur $u$ de $h$ dans $g$. Montrer que $[y, f] \subset f$, d’où $y \in f$ et $z \in u$. Puis montrer que $[z, f] \subset h \cap r \subset c$, d’où $[f, [f, z]] = 0$, d’où $[f, z] = 0$ et $z \in c$. Enfin, $[z, l] \subset l$ d’où $z \in l$ et $x \in h$.) e) Soient $s, f, c$ comme dans $d$), et $q = [g, r]$ le radical nilpotent de $g$. Soient $x \in q$ et $u$ l’automorphisme spécial $e^{\operatorname{ad}_x}$. Si $u(f) \subset f + c$, on a $x \in c$. (Considérer la représentation adjointe $\rho$ de $s$ dans $q$, et soit $q_i$ un supplémentaire de $C^{i+1}q$ dans $C^i q$ stable pour $\rho$; soit $\rho_i$ la sous-représentation de $\rho$ définie par $q_i$. Soit $\sigma_i = \rho_i|f$. Soient $q'_i$ le commutant de $f$ dans $q_i$ et $q''_i$ un supplémentaire de $q'_i$ dans $q_i$ stable pour $\sigma_i$. Soit $x = x'_1 + x''_1 + \cdots + x'_n + x''_n$ avec $x'_i \in q'_i, x''_i \in q''_i$. Raisonnant par l’absurde, supposons les $x''_i$ non tous nuls et par exemple $x''_1 = \cdots = x''_{p-1} = 0, x''_p \neq 0$. Si $h \in f$, on a $u(h) = h + [x''_p, h] + y$ avec $y \in C^{p+1}q$. Comme $u(h) \in f + c$, on obtient $[x''_p, h] + y \in q'_p + q'_{p+1} + \cdots + q'_n$, d’où $[h, x''_p] \in q'_p$, d’où $[h, x''_p] = 0$. Alors $x''_p = 0$, ce qui est contradictoire.)

f) Soit $h$ une sous-algèbre de Cartan de $g$. Alors $h$ est, d'une manière et d'une seule, somme de $h \cap r$ et d'une sous-algèbre de Cartan d'une sous-algèbre de Levi de $g$. (Pour l'unicité, utiliser $e$) et le th. 5 de I, § 6, n° 8.) La sous-algèbre de Levi en question n'est pas unique en général. g) Soient $h$ une sous-algèbre de Cartan de $g$, et $t = g^0(h \cap r)$. Alors $h$ est une sous-algèbre de Cartan de $t$. On a $g = t + r$ (utiliser une décomposition de Fitting pour la représentation adjointe de $h \cap r$ dans $g$). L'algèbre $t \cap r$ est le radical de $t$ et est nilpotente (utiliser l'exerc. 5 du § 2). h) On suppose $k$ algébriquement clos. Soit $h$ une sous-algèbre de Cartan de $g$. Il existe une sous-algèbre de Levi $s$ de $g$ telle que, pour tout $\lambda \in h^*$, on ait

(Avec les notations de $g$), prendre pour $s$ une sous-algèbre de Levi de $t$ telle que $h = (h \cap s) + (h \cap r)$; il en existe d'après $b$).$^1$