Bài tập 11, § 3

Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie, $\mathfrak{r}$ là căn của nó.

a) Cho $\mathfrak{s}$ là một đại số con Levi của $\mathfrak{g},\mathfrak{k}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{s}$. Chứng minh rằng $\mathfrak{k}$ được chứa trong một đại số con Cartan $\mathfrak{h}$ của $\mathfrak{g}$ là tổng của $\mathfrak{k}$ và một đại số con của $\mathfrak{r}$. (Sử dụng §2, Định lý 2, Mệnh đề 10 và Hệ quả 2 của Định lý 1.)

b) Cho $\mathfrak{h}'$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$. Chứng minh rằng tồn tại một đại số con Levi $\mathfrak{s}'$ của $\mathfrak{g}$ sao cho $\mathfrak{h}'$ là tổng của một đại số con Cartan của $\mathfrak{s}'$ và một đại số con của $\mathfrak{r}$. (Các đại số con $\mathfrak{s},\mathfrak{k},\mathfrak{h}$ trong $a$) có thể được chọn sao cho $\mathfrak{h}+\mathfrak{r}=\mathfrak{h}'+\mathfrak{r}$. Đặt $\mathfrak{a}=\mathfrak{h}+\mathfrak{r}$, là giải được. Theo Định lý 3, tồn tại $x\in \mathscr{C}^{\infty}(\mathfrak{a})$ sao cho $e^{ad_{\mathfrak{a}}x}\mathfrak{h}=\mathfrak{h}'$. Khi đó $e^{ad_{\mathfrak{g}}x}$ là một tự đẳng cấu đặc biệt của $\mathfrak{g}$ biến $\mathfrak{s}$ thành đại số con Levi cần tìm.)

c) Cho $\mathfrak{s}$ là một đại số con Levi của $\mathfrak{g}$. Cho $\mathfrak{h}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$ là tổng của một đại số con Cartan $\mathfrak{k}$ của $\mathfrak{s}$ và một đại số con $\mathfrak{l}$ của $\mathfrak{r}$. Cho $\mathfrak{c}$ là hoán tập của $\mathfrak{k}$ trong $\mathfrak{r}$. Chứng minh rằng $\mathfrak{l}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{c}$. (Với $x\in \mathfrak{k}$, ad$_{\mathfrak{g}}x$ là nửa đơn, nhưng ad$_{\mathfrak{h}}x$ là lũy linh, do đó $[\mathfrak{k},\mathfrak{h}] = 0$. Nếu $y\in \mathfrak{c}$ sao cho $[y,\mathfrak{l}]\subset \mathfrak{l}$, thì $[y,\mathfrak{h}]\subset \mathfrak{h}$ nên $y\in \mathfrak{h}\cap \mathfrak{r}=\mathfrak{l}.$)

d) Cho $\mathfrak{s}$ là một đại số con Levi của $\mathfrak{g},\mathfrak{k}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{s},\mathfrak{c}$ là hoán tập của $\mathfrak{k}$ trong $\mathfrak{r},\mathfrak{l}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{c}$. Khi đó $\mathfrak{h}=\mathfrak{k}+\mathfrak{l}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$. (Cho $x=y+z(y\in \mathfrak{s}, z\in \mathfrak{r})$ là một phần tử của chuẩn hóa tử $\mathfrak{u}$ của $\mathfrak{h}$ trong $\mathfrak{g}$. Chứng minh rằng $[y,\mathfrak{k}]\subset \mathfrak{k}$, do đó $y\in \mathfrak{k}$ và $z\in \mathfrak{u}$. Sau đó chứng minh rằng $[z,\mathfrak{k}]\subset \mathfrak{h}\cap \mathfrak{r}\subset \mathfrak{c}$, do đó $[\mathfrak{k},[\mathfrak{k}, z]] = 0$, và suy ra rằng $[\mathfrak{k}, z] = 0$ và $z\in \mathfrak{c}$. Cuối cùng, $[z,\mathfrak{l}]\subset \mathfrak{l}$ do đó $z\in \mathfrak{l}$ và $x\in \mathfrak{h}.$)

e) Cho $\mathfrak{s},\mathfrak{k},\mathfrak{c}$ như trong d), và $\mathfrak{q}= [\mathfrak{g},\mathfrak{r}]$ là căn lũy linh của $\mathfrak{g}$. Cho $x\in \mathfrak{q}$ và $u$ là tự đẳng cấu đặc biệt $e^{adx}$. Nếu $u(\mathfrak{k})\subset \mathfrak{k}+\mathfrak{c}$, thì $x\in \mathfrak{c}$. (Xét biểu diễn phụ hợp $\rho$ của $\mathfrak{s}$ trên $\mathfrak{q}$, và cho $\mathfrak{q}_i$ là một phần bù của $\mathscr{C}^{i+1}\mathfrak{q}$ trong $\mathscr{C}^i\mathfrak{q}$ ổn định dưới $\rho$; cho $\rho_i$ là biểu diễn con của $\rho$ được xác định bởi $\mathfrak{q}_i$. Cho $\sigma_i=\rho_i|\mathfrak{k}$. Cho $\mathfrak{q}'_i$ là hoán tập của $\mathfrak{k}$ trong $\mathfrak{q}_i$ và $\mathfrak{q}''_i$ là một phần bù của $\mathfrak{q}'_i$ trong $\mathfrak{q}_i$ ổn định dưới $\sigma_i$. Cho $x=x'_1+x''_1+\cdots +x'_n+x''_n$ với $x'_i\in \mathfrak{q}'_i, x''_i\in \mathfrak{q}''_i$. Lập luận bằng phản chứng, giả sử rằng các $x''_i$ không phải tất cả đều bằng không và $x''_1=\cdots =x''_{p-1}= 0$, $x''_p\not= 0$, chẳng hạn. Nếu $h\in \mathfrak{k},u(h) =h+ [x''_p, h] +y$ với $y\in \mathscr{C}^{p+1}\mathfrak{q}$. Vì $u(h)\in \mathfrak{k}+\mathfrak{c}$, điều này cho $[x''_p, h] +y\in \mathfrak{q}'_p+\mathfrak{q}'_{p+1}+\cdots +\mathfrak{q}'_n$, do đó $[h, x''_p]\in \mathfrak{q}'_p$, suy ra $[h, x''_p] = 0$. Khi đó $x''_p= 0$, một mâu thuẫn.)

f) Cho $\mathfrak{h}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$. Khi đó $\mathfrak{h}$ có thể được biểu thị một cách duy nhất như tổng của $\mathfrak{h}\cap \mathfrak{r}$ và một đại số con Cartan của một đại số con Levi của $\mathfrak{g}$. (Đối với tính duy nhất, dùng $e$) và Đl. 5 của Chương I, §6, no. 8.) Đại số con Levi đang xét nói chung không duy nhất.

g) Cho $\mathfrak{h}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$, và $\mathfrak{t}=\mathfrak{g}^0(\mathfrak{h}\cap \mathfrak{r})$. Khi đó $\mathfrak{h}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{t}$. Ta có $\mathfrak{g}=\mathfrak{t}+\mathfrak{r}$ (dùng một phân rã Fitting cho biểu diễn phụ hợp của $\mathfrak{h}\cap \mathfrak{r}$ trên $\mathfrak{g}$). Đại số $\mathfrak{t}\cap \mathfrak{r}$ là căn của $\mathfrak{t}$ và lũy linh (dùng Bài tập 5 của §2).

h) Giả sử rằng $k$ đóng đại số. Cho $\mathfrak{h}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$. Tồn tại một đại số con Levi $\mathfrak{s}$ của $\mathfrak{g}$ sao cho, với mọi $\lambda \in \mathfrak{h}^*$,

(Với các ký hiệu của $g$), lấy cho $\mathfrak{s}$ một đại số con Levi của $\mathfrak{t}$ sao cho $\mathfrak{h}=$ $(\mathfrak{h}\cap \mathfrak{s}) + (\mathfrak{h}\cap \mathfrak{r})$; điều này tồn tại theo $b).)^7$