习题 6, § 5

设$\mathfrak{g}$为$\mathfrak{g}\mathfrak{l}$(V)的半单子代数，$\mathbf{T}(V) =\bigoplus_{n=0}^{\infty}\mathbf{T}^n(V)$

tensor algebra of $V,\mathbf{T}(V)^{\mathfrak{g}}$ the set of elements of $\mathbf{T}(V)$ invariant under $\mathfrak{g}$ (cf. Chap. III, App.) and $\overline{\mathfrak{g}}$ the set of $u\in \mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$ such that $u.x= 0$ for all $x\in \mathbf{T}(V)^{\mathfrak{g}}$. 我们将证明$\overline{\mathfrak{g}}=\mathfrak{g}$。

a) 证明V的对偶$V^*$上的$\mathfrak{g}$的表示与$\bigwedge^{p-1}V$上的表示同构，其中$p=$暗淡V（使用$\mathfrak{g}$包含在$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(V)$中的事实）。推出$\mathfrak{g}$下的$\mathbf{T}_{n,m}=\mathbf{T}^n(V)\otimes \mathbf{T}^m(V^*)$不变量的每个元素在$\overline{\mathfrak{g}}$下也是不变量，并且$\overline{\mathfrak{g}}$是代数的（练习5）。

b) 令 W 为 $\mathbf{T}_{n,m}$ 之一的向量子空间。假设W在$\mathfrak{g}$下稳定。证明 W 在 $\overline{\mathfrak{g}}$ 下是稳定的（如果 $e_1, . . . , e_r$ 是 W 的基，注，则 $e_1\wedge \cdots \wedge e_r$ 在 $\mathfrak{g}$ 下不变，因此在 $\overline{\mathfrak{g}}$ 下）。

推出$\mathfrak{g}$是$\overline{\mathfrak{g}}$的理想，并且$\overline{\mathfrak{g}}/\mathfrak{g}$是可交换的（命题4的cf.证明）。我们有$\overline{\mathfrak{g}}=\mathfrak{g}\times \mathfrak{c}$，其中$\mathfrak{c}$是$\overline{\mathfrak{g}}$的中心。

c) 令 R 为由 1 和 $\mathfrak{g}$ 生成的 $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$ 的结合律子代数。证明 $\mathfrak{c}$ 包含在 R 的中心中（注 $\overline{\mathfrak{g}}$ 包含在 R 的双交换数中，等于 R）。推断$\mathfrak{c}$中的元素是半单。

d) 设 $x\in \mathfrak{c}$。显示 $x$ 属于到 $\mathfrak{c}$ 的副本（第 I, §5 章，练习 14）。证明 Tr($sx$) $= 0$ 对于所有$s\in \mathfrak{g}$；推导出所有 $s\in \overline{\mathfrak{g}}$ 都有 Tr($sx$) $= 0$，因此 $x$ 是幂零的（loc. cit）。

e) 通过结合 c) 和 d) 来证明 $\mathfrak{c}= 0$ 和 $\overline{\mathfrak{g}}=\mathfrak{g}$。