Exercice 6, § 5

Soient $g$ une sous-algèbre semi-simple de $gl(V)$, $\mathbf{T}(V) = \bigoplus_{n=0}^\infty \mathbf{T}^n(V)$ l’algèbre tensorielle de $V$, $\mathbf{T}(V)^g$ l’ensemble des éléments de $\mathbf{T}(V)$ invariants par $g$ (cf. III, App.) et $\overline{g}$ l’ensemble des $u \in gl(V)$ tels que $u.x = 0$ pour tout $x \in \mathbf{T}(V)^g$. On se propose de montrer que $\overline{g} = g$. a) Montrer que la représentation de $g$ dans le dual $V^*$ de $V$ est isomorphe à sa représentation dans $\wedge^{p-1} V$, où $p = \dim V$ (utiliser le fait que $g$ est contenue dans $sl(V)$). En déduire que tout élément de $\mathbf{T}_{n,m} = \mathbf{T}^n(V) \otimes \mathbf{T}^m(V^*)$ invariant par $g$ est invariant par $\overline{g}$, et que $\overline{g}$ est algébrique (exerc. 5). b) Soit $W$ un sous-espace vectoriel d’un $\mathbf{T}_{n,m}$. On suppose $W$ stable par $g$. Montrer que $W$ est stable par $\overline{g}$ (si $e_1, \ldots, e_r$ est une base de $W$, remarquer que $e_1 \wedge \cdots \wedge e_r$ est invariant par $g$, donc par $\overline{g}$). En déduire que $g$ est un idéal de $\overline{g}$, et que $\overline{g}/g$ est commutative (cf. dém. de la prop. 4). On a $\overline{g} = g \times c$, où $c$ est le centre de $\overline{g}$. c) Soit $R$ la sous-algèbre associative de $gl(V)$ engendrée par 1 et $g$. Montrer que $c$ est contenu dans le centre de $R$ (remarquer que $\overline{g}$ est contenue dans le bicommunant de $R$, qui est égal à $R$). En déduire que les éléments de $c$ sont semi-simples.

$^1$ Pour plus de détails, cf. C. Chevalley, Théorie des groupes de Lie, II, Groupes algébriques, chap. II, § 14, Paris, Hermann, 1951.

d) Soit $x \in c$. Montrer que les répliques de $x$ appartiennent à $c$ (I, § 5, exerc. 14). Montrer que $\mathrm{Tr}(sx) = 0$ pour tout $s \in g$; en déduire que $\mathrm{Tr}(sx) = 0$ pour tout $s \in \overline{g}$, donc que $x$ est nilpotent (loc. cit.). e) Montrer que $c = 0$ et $\overline{g} = g$ en combinant c) et d).