Bài tập 6, § 5

Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số con nửa đơn của $\mathfrak{g}\mathfrak{l}$(V), $\mathbf{T}(V) =\bigoplus_{n=0}^{\infty}\mathbf{T}^n(V)$ là

đại số tenxơ của $V,\mathbf{T}(V)^{\mathfrak{g}}$ là tập hợp các phần tử của $\mathbf{T}(V)$ bất biến dưới tác động của $\mathfrak{g}$ (xem Chương III, Phụ lục) và $\overline{\mathfrak{g}}$ là tập hợp các $u\in \mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$ sao cho $u.x= 0$ với mọi $x\in \mathbf{T}(V)^{\mathfrak{g}}$. Ta sẽ chứng minh rằng $\overline{\mathfrak{g}}=\mathfrak{g}$.

a) Chứng minh rằng biểu diễn của $\mathfrak{g}$ trên không gian đối ngẫu $V^*$ của V đẳng cấu với biểu diễn của nó trên $\bigwedge^{p-1}V$, trong đó $p=$ dim V (sử dụng sự kiện rằng $\mathfrak{g}$ được chứa trong $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(V)$). Suy ra rằng mọi phần tử của $\mathbf{T}_{n,m}=\mathbf{T}^n(V)\otimes \mathbf{T}^m(V^*)$ bất biến dưới $\mathfrak{g}$ đều bất biến dưới $\overline{\mathfrak{g}}$, và rằng $\overline{\mathfrak{g}}$ là đại số (Bài tập 5).

b) Cho W là một không gian con vectơ của một trong các $\mathbf{T}_{n,m}$. Giả sử rằng W ổn định dưới $\mathfrak{g}$. Chứng minh rằng W ổn định dưới $\overline{\mathfrak{g}}$ (nếu $e_1, . . . , e_r$ là một cơ sở của W, nhận xét rằng $e_1\wedge \cdots \wedge e_r$ là bất biến dưới $\mathfrak{g}$, và do đó dưới $\overline{\mathfrak{g}}$).

Suy ra rằng $\mathfrak{g}$ là một iđêan của $\overline{\mathfrak{g}}$, và rằng $\overline{\mathfrak{g}}/\mathfrak{g}$ là giao hoán (xem chứng minh của Mệnh đề 4). Ta có $\overline{\mathfrak{g}}=\mathfrak{g}\times \mathfrak{c}$, trong đó $\mathfrak{c}$ là tâm của $\overline{\mathfrak{g}}$.

c) Cho R là đại số con kết hợp của $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$ sinh bởi 1 và $\mathfrak{g}$. Chứng minh rằng $\mathfrak{c}$ được chứa trong tâm của R (nhận xét rằng $\overline{\mathfrak{g}}$ được chứa trong đối giao hoán tử kép của R, bằng R). Suy ra rằng các phần tử của $\mathfrak{c}$ là nửa đơn.

d) Cho $x\in \mathfrak{c}$. Chứng minh rằng các phần tử lặp của x thuộc $\mathfrak{c}$ (Chương I, §5, Bài tập 14). Chứng minh rằng Tr($sx$) $= 0$ với mọi $s\in \mathfrak{g}$; suy ra rằng Tr($sx$) $= 0$ với mọi $s\in \overline{\mathfrak{g}}$, và do đó rằng $x$ là lũy linh (đã dẫn).

e) Chứng minh rằng $\mathfrak{c}= 0$ và $\overline{\mathfrak{g}}=\mathfrak{g}$ bằng cách kết hợp c) và d).