Bourbaki

习题 10, § 5

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李群与李代数, VII, 65

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 k′k' 为 kk 的扩张，且 g′\mathfrak{g}' 为 k′k'-谎言子代数

gl(V⊗kk′)=gl(V)⊗kk′ \mathfrak{g}\mathfrak{l}(V\otimes_kk') =\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)\otimes_kk'

a) 证明gl(V)\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)存在最小的谎言子代数g\mathfrak{g}使得g⊗kk′\mathfrak{g}\otimes_kk'包含g′\mathfrak{g}'。

b) 假设k′k'是代数闭的，并用kk的G群-k′k'的自同构表示；这个群在V⊗kk′V\otimes_kk'上以自然的方式运作。证明g⊗kk′\mathfrak{g}\otimes_kk'是G下g′\mathfrak{g}'的共轭生成的谎言子代数（使用kk是k′k'中G不变量的域这一事实）。

c) 如果g′\mathfrak{g}' 可分解，则证明g\mathfrak{g} 可分解。 （约化对于k′k'是代数闭的情况，并使用bb）以及Cor. Th的1和3。 1.)

解答

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