Bài tập 10, § 5

Cho $k'$ là một mở rộng của $k$ và $\mathfrak{g}'$ là một đại số con Lie trên $k'$ của

a) Chứng minh rằng tồn tại một đại số con Lie nhỏ nhất $\mathfrak{g}$ của $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$ sao cho $\mathfrak{g}\otimes_kk'$ chứa $\mathfrak{g}'$.

b) Giả sử rằng $k'$ đóng đại số và ký hiệu bởi G nhóm các $k$-tự đẳng cấu của $k'$; nhóm này tác động một cách tự nhiên lên $V\otimes_kk'$. Chứng minh rằng $\mathfrak{g}\otimes_kk'$ là đại số con Lie sinh bởi các liên hợp của $\mathfrak{g}'$ dưới G (dùng việc rằng $k$ là trường các phần tử bất biến của G trong $k'$).

c) Chứng minh rằng $\mathfrak{g}$ phân tích được nếu $\mathfrak{g}'$ phân tích được. (Rút gọn về trường hợp $k'$ đóng đại số, và dùng $b$) cũng như Hệ quả 1 và 3 của Định lý 1.)