Exercice 10, § 5

Étiquette 01JL, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 01JL].

Groupes et algèbres de Lie, VII

Soient $k'$ une extension de $k$ et $g'$ une $k'$ -sous-algèbre de Lie de

\mathfrak{gl}(V \otimes_k k') = \mathfrak{gl}(V) \otimes_k k'.

a) Montrer qu’il existe une plus petite sous-algèbre de Lie

g

\mathfrak{gl}(V)

telle que

g \otimes_k k'

contienne

g'

. b) On suppose

k'

algébriquement clos et on note

G

le groupe des

k

-automorphismes de

k'

; ce groupe opère de façon naturelle sur

V \otimes_k k'

. Montrer que

g \otimes_k k'

est la sous-algèbre de Lie engendrée par les conjuguées de

g'

par

G

(utiliser le fait que le corps des invariants de

G

dans

k'

est

k

). c) Montrer que

g

est scindable si

g'

l’est. (Se ramener au cas où

k'

est algébriquement clos, et utiliser b) ainsi que les cor. 1 et 3 du th. 1.)

Solution

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Cité par

Rien.