习题 8, § 5

令$\mathfrak{g}$为$\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$的谎言子代数和$\mathfrak{h}$嘉当子代数为$\mathfrak{g}$。

a) 证明$e(\mathfrak{g}) =e(\mathfrak{h}) +\mathscr{D}\mathfrak{g}=e(\mathfrak{h}) +\mathfrak{g}$。

（注 $e(\mathfrak{h})+\mathscr{D}\mathfrak{g}$ 可分解（Th.1 的 Cor.1），包含于 $\mathfrak{g}=\mathfrak{h}+\mathscr{D}\mathfrak{g}$，并且包含在 $e(\mathfrak{g})$ 中；因此，它是 $e(\mathfrak{g}).$）

b) 我们有$e(\mathfrak{h})\cap \mathfrak{g}=\mathfrak{h}$（注，$e(\mathfrak{h})\cap \mathfrak{g}$是幂零的）。

c) 令$x$为$e(\mathfrak{g})$中$e(\mathfrak{h})$标准化器的元素。显示$x\in e(\mathfrak{h})$。 （将$x=y+z$写成$y\in e(\mathfrak{h}), z\in \mathfrak{g}$、cf.$a$）； 注 $[z,\mathfrak{h}]\subset e(\mathfrak{h})\cap \mathfrak{g}=\mathfrak{h}$，因此$z\in \mathfrak{h}.)$

d) 证明 $e(\mathfrak{h})$ 是 $e(\mathfrak{g})$ 的嘉当子代数。