Thật vậy, gọi $H'$ là tập hợp các đồng cấu đại số từ $k[X_1, . . . ,X_n]$ đến $k$. Ánh xạ $\chi \rightarrow (\chi (X_1), . . . , \chi (X_n))$ rõ ràng là một song ánh từ $H'$ lên $k^n$.

Một tập con F của V được gọi là đóng nếu tồn tại một họ $(f_i)_{i\in I}$ các phần tử của $A_V$ sao cho $x\in F\Leftarrow \Rightarrow x\in V$ và $f_i(x) = 0$ với mọi $i\in I$.

Hiển nhiên là $\emptyset$ và V là đóng, và giao tùy ý của các tập đóng là đóng. Nếu F được xác định bởi sự triệt tiêu của các $f_i$ và $F'$ bởi sự triệt tiêu của các $f'_j$, thì $F\cup F'$ được xác định bởi sự triệt tiêu của các $f_if'_j$, và do đó là đóng. Vậy tồn tại một tôpô trên V sao cho các tập đóng đối với tôpô này chính xác là các tập đóng theo nghĩa ở trên. Tôpô này được gọi là tôpô Zariski trên V. Với mọi $f\in A_V$, ta ký hiệu bởi $V_f$ tập hợp các $x\in V$ sao cho $f(x)\not= 0$; đó là một tập con mở của V. Hiển nhiên là các $V_f$ lập thành một cơ sở của tôpô Zariski. (Nếu $k$ là một trường tôpô, thì tôpô chính tắc của V mịn hơn tôpô Zariski.)

Ánh xạ $x \rightarrow \mathfrak{m}_x$ của Hệ quả của Mệnh đề 1 có thể được coi như một ánh xạ $\varepsilon$ từ V vào phổ nguyên tố Spec(A$_V$) của $A_V($Đại số giao hoán, Chương II, §4, no. 3, Định nghĩa 4). Ngay lập tức thấy rằng tôpô Zariski là ảnh ngược theo $\varepsilon$ của tôpô của Spec(A$_V$).

Vì $A_V$ là Noether, Spec(A$_V$) là Noether (Đại số giao hoán, Chương II, §4, no. 3, Hệ quả 7 của Mệnh đề 11), và mọi không gian con của một không gian Noether đều là Noether (loc. cit., no. 2, Mệnh đề 8). Với ký hiệu của Hệ quả của Mệnh đề 1, giao của các $\mathfrak{m}_x$ là $\{0\}$, và $\{0\}$ là một iđêan nguyên tố của $A_V$; do đó V là bất khả quy (loc. cit., no. 3, Mệnh đề 14).

Chỉ cần chứng minh rằng, với mọi phần tử khác không $\varphi$ của $A_V,f(V_{\varphi})$ chứa một tập con mở trù mật của W. Đồng nhất $A_W$ với một đại số con của $A_V$ bằng đồng cấu liên kết với $f$. Tồn tại một phần tử khác không $\psi$ của $A_W$ sao cho mọi đồng cấu $w: A_W\rightarrow k$ không triệt tiêu $\psi$ đều mở rộng thành một đồng cấu $v: A_V\rightarrow k$ không triệt tiêu $\varphi ($đại số giao hoán, Chap. V, §3, no. 1, Hệ quả 3 của Định lý 1). Khi đó một $w$ như vậy (resp. một $v$ như vậy) có thể được đồng nhất với một phần tử của $W_{\psi}$ (resp. của $V_{\varphi}$) và nói rằng $v$ mở rộng $w$ có nghĩa là $f(v) =w$. Do đó, $W_{\psi}\subset f(V_{\varphi})$. Q.E.D.

Cho $f: V\rightarrow W$ là một ánh xạ đa thức, và $x_0\in V$. Ánh xạ $h \rightarrow f(x_0+h)$ từ V đến W là đa thức. Phân tích nó thành một tổng hữu hạn các ánh xạ đa thức thuần nhất:

trong đó $D_i: V\rightarrow W$ là thuần nhất bậc $i($Đại số, Chương IV, §5, no. 10, Mệnh đề 19). Ánh xạ tuyến tính $D_1$ được gọi là ánh xạ tuyến tính tiếp xúc của $f$ tại $x_0$. Ta ký hiệu nó bởi $Df(x_0)$.

Áp dụng một phép tịnh tiến trong V và một phép tịnh tiến trong W, ta có thể giả sử rằng $x_0= 0$ và $f(x_0) = 0$. Khi đó phân tích của $f$ thành một tổng các phần tử thuần nhất có thể được viết

$f=f_1+f_2+\cdots$ với bậc của $f_i=i$,

và ánh xạ tuyến tính $f_1$ là toàn ánh theo giả thiết. Giả sử rằng $f$ không trội. Khi đó tồn tại một phần tử khác không $\psi$ của $A_W$ sao cho $\psi \circ f= 0$. Gọi $\psi =\psi_m+\psi_{m+1}+\cdots$ là phân tích của $\psi$ thành các phần tử thuần nhất, với bậc của $\psi_i=i$ và $\psi_m\not= 0$. Khi đó

trong đó $\rho$ là một tổng các ánh xạ đa thức thuần nhất bậc $> m$. Suy ra $\psi_m\circ f_1= 0$. Vì $f_1$ là toàn ánh, nên $\psi_m= 0$, mâu thuẫn.

Điều này suy ra từ các Mệnh đề 3 và 4.