Une propriété de connexion

Soit en effet $\Omega_0$ une partie ouverte et fermée non vide de $\Omega$. Soit $x \in X$ et soit $V$ un voisinage de $x$ tel que $V \cap \Omega$ soit connexe. Si $x \in \overline{\Omega}_0$, on a

donc $V \cap \Omega \subset \Omega_0$. Puisque $\Omega$ est dense dans $X$, $\overline{\Omega}_0$ est donc un voisinage de $x$.

Par conséquent, $\overline{\Omega}_0$ est ouvert et fermé, non vide, et puisque $X$ est connexe, $\overline{\Omega}_0 = X$. Puisque $\Omega_0$ est fermé dans $\Omega$, ceci entraîne $\Omega_0 = \Omega \cap \overline{\Omega}_0 = \Omega$, ce qui prouve que $\Omega$ est connexe.

La densité de $U - A$ résulte de VAR, R, 3.2.5. Supposons d’abord $n = 1$. Si $a \in A$, le développement de $f$ en série entière au point $a$ (VAR, R, 3.2.1) n’est pas réduit à 0, et on en déduit qu’il existe un voisinage $V_a$ de $a$ dans $U$ tel que $f$ ne s’annule pas sur $V_a - \{a\}$. Ainsi, $a$ est isolé dans $A$, ce qui prouve que $A$ est une partie discrète de $U$, donc dénombrable puisque $U$ est dénombrable à l’infini. Soient $x, y \in U - A$. La réunion des droites affines réelles joignant $x$ (resp. $y$) à un point de $A$ est maigre (TG, IX, § 5, p. 53). Il existe donc $z \in U - A$ tel qu’aucun des segments $[x, z]$ et $[y, z]$ ne rencontre $A$. Les points $x, y, z$ appartiennent donc à une même composante connexe de $U - A$, ce qui démontre le lemme dans le cas $n = 1$. Passons au cas général. On peut supposer que $A$ est l’ensemble des zéros de $f$ (TG, I, p. 81, prop. 1). Soient $x, y \in U - A$ et soit $L$ une droite affine contenant $x$ et $y$. La restriction de $f$ à $L \cap U$ n’est pas identiquement nulle puisque $x \in L \cap U$. D’après ce qui précède, $x$ et $y$ appartiennent à une même composante connexe de $(L \cap U) - (L \cap A)$ donc à une même composante connexe de $U - A$.

La densité de $X - A$ résulte de VAR, R, 3.2.5. On peut supposer que $A$ est fermé (TG, I, p. 81, prop. 1). Pour tout $x \in X$, il existe un voisinage ouvert $V$ de $x$ et un isomorphisme $c$ de $V$ sur une boule ouverte de $\mathbf{C}^n$ tels que $c(A \cap V)$ soit contenu dans l’ensemble des zéros d’une fonction holomorphe non identiquement nulle sur $c(V)$. D’après le lemme 2, $V \cap (X - A)$ est alors connexe. Compte tenu du lemme 1, ceci prouve que $X - A$ est connexe.

Exercices

Les algèbres de Lie et les modules sur ces algèbres sont supposés de dimension finie sur k; à partir du § 3, on suppose k de caractéristique zéro.