习题 17, § 2

令 $X$ 为紧空间，$\Gamma$ 为 $X$ 的可数同胚群。假设轨道空间 $X/\Gamma$ 是豪斯多夫（因此是紧凑的）。

a) 证明，对于每个 $x \in X$，$x$ 的轨道 $\Gamma(x)$ 都是有限的（观察到，如果它是无限的，则不会有孤立的点，并使用 Baire 的定理 (章 IX, § 5, no. 3，定理 1)）。

b) 对于每个$x_0 \in X$，令$\Delta(x_0)$为同态$\Gamma$由……组成的正常子群，使轨道$\Gamma(x_0)$的所有点保持固定。证明如果 $\Delta(x_0)$ 是有限生成的，则 $\Gamma$ 在 $x_0$ 处等连续。 [令$f_i (1 \leq i \leq m)$为$\Delta(x_0)$的生成元，并令$g_k (1 \leq k \leq n)$为$\Gamma$中$\Delta(x_0)$除$\Delta(x_0)$本身之外的每个陪集的代表。取$x_0$的邻域$V$，使得集合$f_i(V)$、$f_i^{-1}(V)$都不满足集合$g_k(V)$中的任何一个，然后利用由$\Gamma$定义的等价关系是闭集的事实（章I, § 10, no. 4，命题8）。]

c) 在$\Delta(x_0)$上不做任何假设，假设$x_0$在$X$中有一个可数连通的邻域的基本系统。证明 $\Gamma$ 在 $x_0$ 处等连续 [与 b) 中的方法相同]。推断如果$X$是局部连通的，则$\Gamma$是等连续的。

d) 取$X$为点$0, 1, 1/n$和$1 + 1/n$的$\mathbf{R}$由……组成的紧子空间($n$整数$\geq 2$)。给出 $X$ 的可数同胚群 $\Gamma$ 的例，使得 $X/\Gamma$ 是 Hausdorff，但 $\Gamma$ 不是等连续的。