Bài tập 17, § 2

Cho $X$ là một không gian compact và $\Gamma$ là một nhóm đếm được các phép đồng phôi của $X$. Giả sử rằng không gian quỹ đạo $X/\Gamma$ là Hausdorff (và do đó compact).

a) Chứng minh rằng, với mỗi $x \in X$, quỹ đạo $\Gamma(x)$ của $x$ là hữu hạn (nhận xét rằng nếu nó là vô hạn thì nó sẽ không có điểm cô lập nào, và sử dụng định lý Baire (Chương IX, § 5, no. 3, Định lý 1)).

b) Với mỗi $x_0 \in X$, gọi $\Delta(x_0)$ là nhóm con chuẩn của $\Gamma$ gồm các phép đồng phôi giữ cố định tất cả các điểm của quỹ đạo $\Gamma(x_0)$. Chứng minh rằng nếu $\Delta(x_0)$ sinh hữu hạn, thì $\Gamma$ là liên tục đều tại $x_0$. [Gọi $f_i (1 \leq i \leq m)$ là các phần tử sinh của $\Delta(x_0)$, và gọi $g_k (1 \leq k \leq n)$ là các đại diện của mỗi lớp ghép của $\Delta(x_0)$ trong $\Gamma$ khác với chính $\Delta(x_0)$. Lấy một lân cận $V$ của $x_0$ sao cho không một tập hợp nào trong các tập $f_i(V)$, $f_i^{-1}(V)$ gặp bất kỳ tập hợp nào trong các tập $g_k(V)$, rồi sử dụng sự kiện rằng quan hệ tương đương xác định bởi $\Gamma$ là đóng (Chương I, § 10, no. 4, Mệnh đề 8).]

c) Không đặt bất kỳ giả thiết nào về $\Delta(x_0)$, giả sử rằng $x_0$ có một hệ cơ bản đếm được các lân cận liên thông trong $X$. Chứng minh rằng $\Gamma$ là liên tục đều tại $x_0$ [cùng phương pháp như trong b)]. Suy ra rằng nếu $X$ liên thông địa phương, thì $\Gamma$ là liên tục đều.

d) Lấy $X$ là không gian con compact của $\mathbf{R}$ gồm các điểm $0, 1, 1/n$ và $1 + 1/n$ ($n$ là một số nguyên $\geq 2$). Hãy cho một ví dụ về một nhóm đếm được $\Gamma$ các phép đồng phôi của $X$, sao cho $X/\Gamma$ là Hausdorff nhưng $\Gamma$ không liên tục đều.