Exercice 17, § 2

Soient $X$ un espace compact, $\Gamma$ un groupe dénombrable d’homéomorphismes de $X$; on suppose que l’espace des orbites $X/\Gamma$ est séparé (donc compact).

a) Montrer que l’orbite $\Gamma(x)$ de tout $x \in X$ est un ensemble fini (remarquer que si cet ensemble était infini, il n’aurait aucun point isolé et utiliser le th. de Baire (IX, p. 55, th. 1)).

b) Pour chaque point $x_0 \in X$, soit $\Delta(x_0)$ le sous-groupe distingué de $\Gamma$ formé des homéomorphismes laissant invariants tous les points de l’orbite $\Gamma(x_0)$. Montrer que si $\Delta(x_0)$ a un nombre fini de générateurs, le groupe $\Gamma$ est équicontinu au point $x_0$. (Soient $f_i$ ($1 \leq i \leq m$) les générateurs de $\Delta(x_0)$, $g_k$ ($1 \leq k \leq n$) des représentants de chacune des classes du groupe $\Gamma$ modulo $\Delta(x_0)$ distinctes de $\Delta(x_0)$; prendre un voisinage $V$ de $x_0$ tel qu’aucun des ensembles $f_i(V)$, $f_i^{-1}(V)$ ne rencontre un des ensembles $g_k(V)$; puis utiliser le fait que la relation d’équivalence définie par $\Gamma$ est fermée (I, p. 78, prop. 8)).

c) Sans hypothèse sur $\Delta(x_0)$, on suppose que $x_0$ possède un système fondamental de voisinages connexes dans $X$; montrer que $\Gamma$ est équicontinu au point $x_0$ (méthode analogue à celle de b)). En déduire que si $X$ est localement connexe, $\Gamma$ est équicontinu.

d) On prend pour $X$ le sous-espace compact de $\mathbf{R}$ formé de 0, 1 et des points $1/n$ et $1 + \frac{1}{n}$ ($n$ entier $\geq 2$); donner un exemple de groupe dénombrable $\Gamma$ d’homéomorphismes de $X$ tel que $X/\Gamma$ soit séparé, et qui n’est pas équicontinu.