习题 16, § 5

令$\mathbf{R}_-$表示将实数的线性有序集合$\mathbf{R}$赋予拓扑$\mathscr{G}_-(\mathbf{R})$（章I, § 2，习题5）而获得的拓扑空间。 a) 证明 $\mathbf{R}_-$ 中的每个开集合都是并，属于互为不相交的区间的可数族，这些区间要么在左侧开，要么半开。推断 $\mathbf{R}_-$ 完全正常（§ 4、习题 8）并且完全不差（习题 12）。 b) 证明空间 $\mathbf{R}_- \times \mathbf{R}_-$ 不是正规的，因此 $\mathbf{R}_-$ 不可度量，尽管 $\mathbf{R}_-$ 包含是可数稠密子集。 （考虑$\mathbf{R}_- \times \mathbf{R}_-$中点$(x, y)$的集合使得$x + y = 1$，证明$\mathbf{R}_- \times \mathbf{R}_-$有一个封闭的子空间，它与习题15中定义的空间$X$同胚。） c) 证明 $\mathbf{R}_-$ 是 Lindelöf 空间 (章 I, § 9, 习题 15)，因此是仿紧凑 (§ 4, 习题 23)。 （对于每个$x \in \mathbf{R}_-$，令$U_x$为半开区间$]y(x), x]$，以$x$为右侧端点。证明$z \in \mathbf{R}_-$中不属于到任何开区间$]y(x), x[$的集合是可数的；使用章 IV, § 2、习题1。）

d) 证明$\mathbf{R}_-$的每个紧致子集都是可数的[如果$A$在$\mathbf{R}_-$中是紧集，则$\mathscr{T}_-(\mathbf{R})$和$\mathscr{T}_0(\mathbf{R})$在$A$上导出的拓扑是相同的；推出$A$的每个点都是与$A$]相邻的区间的左端点。