习题 26, § 5

令$X$为局部紧致度量空间，令$d$为与$X$的拓扑兼容的度量，令$R$为$X$上的封闭等价关系，所有等价类都是紧致的。那么 $X/R$ 是局部紧凑的 (章 I, $\S$ 10, 命题 9) 且可度量 ($\S$ 4, 习题 24)。

a) 对于点 $u,\ v$ $X/R$ 中的每个对，集合

其中 $\varphi : X \to X/R$ 是典范映射，对于每个 $u \in X/R$ 让 证明 $\lambda$ 在 $X/R$ 上是上半连续的，并且对于每个 $\alpha > 0$，点 $u \in X/R$ 的集合使得 $\lambda(u) \geq \alpha$ 无处稠密。 [证明否则将存在 $X$ 的紧凑子集 $K$ 和 $K$ 点的无限序列 $(x_n)$，使得 $d(x_m,\ x_n) > \frac{1}{2} \alpha$ 对应 $m \neq n$。]

b) 从a)推导出$X/R$存在一个稠密子集$M$，它是$X/R$中开集合的可数交，并且使得对于每个$\varphi$下的每个$x \in \overline{\varphi}(M)$像 $X$中$x$的邻域是$X/R$中$\varphi(x)$的邻域（使用定理1）。