Bài tập 26, § 5

Cho $X$ là một không gian mêtric hóa địa phương compact, cho $d$ là một mêtric tương thích với tôpô của $X$, và cho $R$ là một quan hệ tương đương đóng trên $X$, mọi lớp tương đương của nó đều compact. Khi đó $X/R$ là địa phương compact (Chương I, $\S$ 10, Mệnh đề 9) và mêtric hóa được ($\S$ 4, Bài tập 24).

a) Với mỗi cặp điểm $u,\ v$ của $X/R$, đặt

trong đó $\varphi : X \to X/R$ là ánh xạ chính tắc, và với mỗi $u \in X/R$ đặt Chứng minh rằng $\lambda$ là nửa liên tục trên trên $X/R$ và rằng, với mỗi $\alpha > 0$, tập hợp các điểm $u \in X/R$ sao cho $\lambda(u) \geq \alpha$ là không đâu trù mật. [Chứng minh rằng nếu không thì tồn tại một tập con compact $K$ của $X$ và một dãy vô hạn $(x_n)$ các điểm của $K$ sao cho $d(x_m,\ x_n) > \frac{1}{2} \alpha$ với $m \neq n$.]

b) Suy ra từ a) rằng có một tập con trù mật $M$ của $X/R$, là một giao đếm được của các tập mở trong $X/R$, và sao cho với mỗi $x \in \overline{\varphi}(M)$, ảnh qua $\varphi$ của mọi lân cận của $x$ trong $X$ là một lân cận của $\varphi(x)$ trong $X/R$ (dùng Định lý 1).