Exercice 26, § 5

Soient $X$ un espace localement compact métrisable, $d$ une distance compatible avec la topologie de $X$, $R$ une relation d’équivalence fermée dans $X$, telle que toute classe suivant $R$ soit compacte. On sait alors que $X/R$ est localement compact (I, p. 78, prop. 9) et métrisable (IX, p. 110, exerc. 34).

a) Pour tout couple d’éléments $u, v$ de $X/R$, on pose

($\varphi$ désignant l’application canonique de $X$ sur $E/R$), et pour tout $u \in X/R$, Montrer que $\lambda$ est semi-continue supérieurement dans $X/R$, et que, pour tout $\alpha > 0$, l’ensemble des $u \in X/R$ tels que $\lambda(u) \geq \alpha$ est rare. (Dans le cas contraire, montrer qu’il existerait une partie compacte $K$ de $X$ et une suite infinie $(x_n)$ de points de $K$ telle que $d(x_m, x_n) > \alpha/2$ pour $m \neq n$).

b) Déduire de $a$) qu’il existe dans $X/R$ un ensemble dense $M$, intersection dénombrable d’ensembles ouverts dans $X/R$, tel que pour tout $x \in \varphi(M)$, l’image par $\varphi$ de tout voisinage de $x$ dans $X$ soit un voisinage de $\varphi(x)$ dans $X/R$ (utiliser IX, p. 55, th. 1).