习题 11, § 1

令$a_i = (a_{ij})$ ($1 \leq i \leq m,\ 1 \leq j \leq n$) 为$\mathbf{R}^n$ 的$m$ 点，并令$q$ 为整数 > o。 For each 点 $k = (k_i)$ ($1 \leq i \leq m$) of $\mathbf{R}^m$ with 整数 coordinates, not all 零, 满足 the inequalities $0 \leq k_i \leq q$, consider 点 $x_k = (x_{j,k})$ ($1 \leq j \leq n$) of $\mathbf{R}^n$，所有坐标属于到$[0, 1[$，并且与模$\mathbf{Z}^n$到$\sum_{i=1}^m k_i a_i$全等，即点与坐标

If $p$ is 最小的整数 such that $q + 1 \geq p^{n/m}$, show that there are two distinct 点 $k, k'$ such that $x_k$ and $x_{k'}$ both 属于 to the same cube of side $1/p$ (same 方法为习题 10)。 Deduce that there exist $m$ 整数 $p_i$, not all 零, and $n$ 整数 $r_j$ ($1 \leq j \leq n$) such that $0 \leq p_i \leq q$ for $1 \leq i \leq m$, and

使用此结果给出另一个证明 / 命题 2 / no. 1（“鸽子洞原理”）。