Bài tập 11, § 1

Cho $a_i = (a_{ij})$ ($1 \leq i \leq m,\ 1 \leq j \leq n$) là $m$ điểm của $\mathbf{R}^n$ và cho $q$ là một số nguyên > o. Với mỗi điểm $k = (k_i)$ ($1 \leq i \leq m$) của $\mathbf{R}^m$ có tọa độ nguyên, không phải tất cả đều bằng không, thỏa mãn các bất đẳng thức $0 \leq k_i \leq q$, xét điểm $x_k = (x_{j,k})$ ($1 \leq j \leq n$) của $\mathbf{R}^n$, tất cả các tọa độ của nó đều thuộc $[0, 1[$ và đồng dư mod $\mathbf{Z}^n$ với $\sum_{i=1}^m k_i a_i$, tức là điểm có các tọa độ

Nếu $p$ là số nguyên nhỏ nhất sao cho $q + 1 \geq p^{n/m}$, hãy chỉ ra rằng tồn tại hai điểm phân biệt $k, k'$ sao cho $x_k$ và $x_{k'}$ cùng thuộc một hình lập phương có cạnh $1/p$ (cùng phương pháp như Bài tập 10). Suy ra rằng tồn tại $m$ số nguyên $p_i$, không phải tất cả đều bằng không, và $n$ số nguyên $r_j$ ($1 \leq j \leq n$) sao cho $0 \leq p_i \leq q$ với $1 \leq i \leq m$, và

Dùng kết quả này để đưa ra một chứng minh khác của Mệnh đề 2 của no. 1 (nguyên lý "chuồng chim bồ câu").