Exercice 11, § 1

Soient $a_i = (a_{ij})$ ($1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n$) $m$ points de $\mathbf{R}^n$, $q$ un entier $> 0$; pour tout point $k = (k_i)$ ($1 \leq i \leq m$) de $\mathbf{R}^m$, à coordonnées entières non toutes nulles satisfaisant aux inégalités $0 \leq k_i \leq q$, on considère le point $x_{k} = (x_{j,k})$ ($1 \leq j \leq n$) de $\mathbf{R}^n$ dont toutes les coordonnées appartiennent à $[0, 1[$, et qui est congru mod. $\mathbf{Z}^n$ à $\sum_{i=1}^m k_i a_i$ (autrement dit, le point de coordonnées

Si $p$ est le plus petit entier que $q + 1 \geq p^{n/m}$, montrer qu’il existe deux points $k, k'$ distincts tels que les deux points $x_k, x_{k'}$, appartiennent tous deux à un même cube de côté $1/p$ (méthode de l’exerc. 10). En déduire qu’il existe $m$ entiers $p_i$ non tous nuls et $n$ entiers $r_j$ ($1 \leq j \leq n$) tels que l’on ait $0 \leq p_i \leq q$ pour $1 \leq i \leq m$, et Tirer de ce résultat une seconde démonstration de la prop. 2 de VII, p. 3 (« méthode des tiroirs »).