习题 1, § 1

设G是$\mathbf{R}^n$中秩$p$的离散子群，并令$(\mathbf{a}_i)_{1 \leq i \leq p}$是G的$p$点的自由系统。no. 1的定理1的证明表明G 是由 $p$ 点 $d^{-1} \mathbf{a}_i$ 生成的群的子群，其中 $d$ 是整数。证明，在不使用定理 1 的情况下，存在 G 的 $p$ 点 $\mathbf{b}_i = \sum_{j=1}^p b_{ij} \mathbf{a}_j$ 的自由系统，这样，如果 $x_i = \sum_{j=1}^p x_{ij} \mathbf{a}_i \quad (1 \leq i \leq p)$ 是 G 的 $p$ 点的任何自由系统，我们有 $|\det(x_{ij})| \geq |\det(b_{ij})| > 0$。因此，通过证明 $\mathbf{b}_i$ 生成 G，给出定理 1 的证明，它不依赖于不变因子理论。（通过矛盾论证：如果$z = \sum_{i=1}^p z_i \mathbf{b}_i \in G$且$z_i$之一不是整数，则存在$z$和$\mathbf{b}_i$生成群的点$u = \sum_{i=1}^p u_i \mathbf{b}_i$，使得$0 < u_i < 1$对于某些指标$i$，因此得到矛盾。）