Exercice 1, § 1

Soient G un sous-groupe discret de rang $p$ de $\mathbf{R}^n$, $(\mathbf{a}_i)_{1 \leq i \leq p}$ un système libre de $p$ points de G. Le raisonnement du th. 1 de VII, p. 4 montre que G est un sous-groupe du groupe engendré par les $p$ points $\mathbf{a}_i/d$, où $d$ est un entier convenable. Montrer, sans utiliser le th. 1, qu’il existe un système libre de $p$ points $\mathbf{b}_i = \sum_{j=1}^p b_{ij} \mathbf{a}_j$ de G tel que, pour tout autre système libre de $p$ points $\mathbf{x}_i = \sum_{j=1}^p x_{ij} \mathbf{a}_i$ de G, on ait $|\det(x_{ij})| \geq |\det(b_{ij})| > 0$. En déduire une démonstration du th. 1 indépendante de la théorie des facteurs invariants, en prouvant que les $\mathbf{b}_i$ engendrent G (raisonner par l’absurde: si pour un point $\mathbf{z} = \sum_{i=1}^p z_i \mathbf{b}_i$ de G, un des $z_i$ n’était pas entier, il existerait un point $\mathbf{u} = \sum_{i=1}^p u_i \mathbf{b}_i$ du groupe engendré par $\mathbf{z}$ et les $\mathbf{b}_i$, tel que $0 < u_i < 1$ pour un indice $i$, et en conclure une contradiction).