Bài tập 1, § 1

Cho G là một nhóm con rời rạc có hạng $p$ trong $\mathbf{R}^n$ và cho $(\mathbf{a}_i)_{1 \leq i \leq p}$ là một hệ tự do gồm $p$ điểm của G. Chứng minh của Định lý 1 ở no. 1 cho thấy rằng G là một nhóm con của nhóm sinh bởi $p$ điểm $d^{-1} \mathbf{a}_i$, trong đó $d$ là một số nguyên. Hãy chứng minh, không sử dụng Định lý 1, rằng tồn tại một hệ tự do gồm $p$ điểm $\mathbf{b}_i = \sum_{j=1}^p b_{ij} \mathbf{a}_j$ của G sao cho, nếu $x_i = \sum_{j=1}^p x_{ij} \mathbf{a}_i \quad (1 \leq i \leq p)$ là một hệ tự do bất kỳ gồm $p$ điểm của G, ta có $|\det(x_{ij})| \geq |\det(b_{ij})| > 0$. Từ đó hãy cho một chứng minh của Định lý 1 không dựa trên lý thuyết các nhân tử bất biến, bằng cách chỉ ra rằng các $\mathbf{b}_i$ sinh G. (Lập luận bằng phản chứng: nếu $z = \sum_{i=1}^p z_i \mathbf{b}_i \in G$ và một trong các $z_i$ không là một số nguyên, thì tồn tại một điểm $u = \sum_{i=1}^p u_i \mathbf{b}_i$ của nhóm sinh bởi $z$ và các $\mathbf{b}_i$ sao cho $0 < u_i < 1$ với một chỉ số $i$, và do đó thu được một mâu thuẫn.)