习题 2, § 1

令$\mathscr{G}$为$\mathbf{R}$上的豪斯多夫拓扑，与$\mathbf{R}$的群结构兼容，并且比通常的拓扑$\mathscr{T}_0$严格粗糙。

a) 证明$o$相对于$\mathscr{T}$的每个开邻域在$\mathbf{R}$中都是无界的（注比紧致空间的拓扑更粗糙的Hausdorff拓扑必须与后者重合）。

b) 令$V \neq \mathbf{R}$为$o$相对于$\mathscr{G}$的对称开邻域，并令$W$为$o$相对于$\mathscr{G}$的对称开邻域，使得$W + W \subset V$。证明如果$a$是$V$（相对于$\mathscr{G}_0$）的分量（包含$o$）的长度，则$W$的每个分量（相对于$\mathscr{G}_0$）都有长度$\leq a$。此外，$\mathbf{R} - W$内部分量的长度（相对于$\mathscr{G}_0$）的集合是有界的[使用a)，并且事实上存在$o$相对于$\mathscr{T}$的对称开邻域$W_1$，使得$W_1 + W_1 \subset W$]。

c) 从 b) 推导出 $\mathbf{R}$ 是预紧的，并且在拓扑 $\mathscr{G}$ 中不是局部紧的。

d) 同样证明 $\mathbf{Z}$ 是预紧的，并且在与其群结构兼容且与离散拓扑不同的任何拓扑 $\mathscr{G}$ 中不是局部紧的。

e) 令$f$为子群$\Gamma$与$\mathbf{R}$的连续同态，而不是单独的$o$的由……组成，并赋予由$\mathscr{G}_0$诱导的拓扑，成为完整的豪斯多夫群 $G$。证明如果$f$不是$\Gamma$的同构到$G$的子群$f(\Gamma')$，则$f(\Gamma')$在$G$中相对紧凑[使用c)和d)]。

\* $f$) 对于每个整数 $n \geq 2$，将$\mathbf{R}$的连续单同态$f$的例放入$\mathbf{T}^n$，使得$f(\mathbf{R})$在$\mathbf{T}^n$中稠密（cf.章） VII, § 1, no. 4，命题 7 的推论 1)。 \*