Exercice 2, § 1

Soit $\mathscr{T}$ une topologie séparée sur $\mathbf{R}$, compatible avec la structure de groupe de $\mathbf{R}$ et strictement moins fine que la topologie usuelle $\mathscr{T}_0$ de $\mathbf{R}$.

a) Montrer que tout voisinage ouvert de 0 pour $\mathscr{T}$ est non borné dans $\mathbf{R}$ (remarquer qu’une topologie séparée moins fine qu’une topologie d’espace compact lui est nécessairement identique).

b) Soit $V \neq \mathbf{R}$ un voisinage ouvert symétrique de 0 pour $\mathscr{T}$, et soit $W$ un voisinage ouvert symétrique de 0 pour $\mathscr{T}$ tel que $W + W \subset V$. Montrer que si $a$ est la longueur de la composante connexe de $V$ (pour $\mathscr{T}_0$) contenant 0, toute composante connexe (pour $\mathscr{T}_0$) de $W$ a une longueur $\leq a$. En outre, l’ensemble des longueurs des composantes connexes de l’intérieur de $\mathbf{R} - W$ (pour $\mathscr{T}_0$) est borné (utiliser $a$) et le fait qu’il existe un voisinage ouvert symétrique $W_1$ de 0 pour $\mathscr{T}$ tel que $W_1 + W_1 \subset W$.

c) Déduire de b) que $\mathbf{R}$ est précompact et non localement compact pour la topologie $\mathscr{T}$.

d) Montrer de même que $\mathbf{Z}$ est précompact et non localement compact pour toute topologie $\mathscr{T}$ compatible avec sa structure de groupe et distincte de la topologie discrète.

e) Soit $f$ un homomorphisme continu d’un sous-groupe $\Gamma$ de $\mathbf{R}$ non réduit à 0 (muni de la topologie induite par $\mathscr{T}_0$), dans un groupe séparé et complet G. Montrer que si $f$ n’est pas un isomorphisme de $\Gamma$ sur le sous-groupe $f(\Gamma)$ de $G$, $f(\Gamma)$ est relativement compact dans $G$ (utiliser $c$ et $d$).

$f) *$Pour tout entier $n \geqslant 2$, donner des exemples de représentations continues injectives $f$ de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{T}^n$ telles que $f(\mathbf{R})$ soit dense dans $\mathbf{T}^n$ (cf. VII, p. 7, cor. 1).*