Bài tập 2, § 1

Cho $\mathscr{G}$ là một tôpô Hausdorff trên $\mathbf{R}$, tương thích với cấu trúc nhóm của $\mathbf{R}$ và thực sự thô hơn tôpô thông thường $\mathscr{T}_0$.

a) Chứng minh rằng mọi lân cận mở của $o$ đối với $\mathscr{T}$ đều không bị chặn trong $\mathbf{R}$ (chú ý rằng một tôpô Hausdorff thô hơn tôpô của một không gian compact phải trùng với tôpô sau).

b) Cho $V \neq \mathbf{R}$ là một lân cận mở đối xứng của $o$ đối với $\mathscr{G}$, và cho $W$ là một lân cận mở đối xứng của $o$ đối với $\mathscr{G}$ sao cho $W + W \subset V$. Chứng minh rằng nếu $a$ là độ dài của thành phần của $V$ (đối với $\mathscr{G}_0$) chứa $o$, thì mọi thành phần (đối với $\mathscr{G}_0$) của $W$ có độ dài $\leq a$. Hơn nữa, tập hợp các độ dài của các thành phần của phần trong của $\mathbf{R} - W$ (đối với $\mathscr{G}_0$) là bị chặn [dùng a) và sự kiện tồn tại một lân cận mở đối xứng $W_1$ của $o$ đối với $\mathscr{T}$ sao cho $W_1 + W_1 \subset W$].

c) Suy ra từ b) rằng $\mathbf{R}$ là tiền compact và không compact địa phương trong tôpô $\mathscr{G}$.

d) Chứng minh tương tự rằng $\mathbf{Z}$ là tiền compact và không compact địa phương trong mọi tôpô $\mathscr{G}$ tương thích với cấu trúc nhóm của nó và phân biệt với tôpô rời rạc.

e) Cho $f$ là một đồng cấu liên tục của một nhóm con $\Gamma$ của $\mathbf{R}$, không gồm riêng $o$ và được trang bị tôpô cảm sinh bởi $\mathscr{G}_0$, vào một nhóm Hausdorff đầy đủ $G$. Chứng minh rằng nếu $f$ không là một đẳng cấu của $\Gamma$ lên nhóm con $f(\Gamma')$ của $G$, thì $f(\Gamma')$ là tương đối compact trong $G$ [dùng c) và d)].

\* $f$) Với mọi số nguyên $n \geq 2$, hãy cho các ví dụ về các đồng cấu đơn ánh liên tục $f$ của $\mathbf{R}$ vào $\mathbf{T}^n$ sao cho $f(\mathbf{R})$ trù mật trong $\mathbf{T}^n$ (xem Chương VII, § 1, no. 4, Hệ quả 1 của Mệnh đề 7). \*