习题 1, § 1

\* a) 设$f$为加法群$\mathbf{R}$自身的同态。证明，如果$f$的图在$\mathbf{R}^2$中不稠密，则$f$的形式$x \to ax$[考虑$f$图的$\mathbf{R}^2$中的闭包，并使用结构定理作为$\mathbf{R}^2$的闭子群] （章VII, § 1, no. 2，定理2）]。 \* [与章 VI, § 1、习题 12 b) 和章 IV, § 6、习题 2 进行比较。]

b) 如果$f$的图在$\mathbf{R}^2$稠密，映射$x \to (x, f(x))$下的$\mathbf{R}^2$拓扑逆像与$\mathbf{R}$的群结构兼容并且严格比通常的更细拓扑共 $\mathbf{R}$。另外，如果$f$是单射的，则$\mathbf{R}$的通常的拓扑的$f$下的逆像与$\mathbf{R}$的群结构兼容，并且与$\mathbf{R}$的通常的拓扑不具有可比性。