习题 4, § 8

令 $G$ 为 $G$ 的有限维实李群和 $A$ 子群。我们说，$L(G)$的元素$x$是$A$可访问的，如果对于$e$的每个邻域$U$，存在$(0, 1)$到$A$的连续映射$\alpha$，使得$\alpha(0) = e$ 和 $\alpha(t) \in \exp(tx) \cdot U$ 对应 $0 \leq t \leq 1$。令$\mathfrak{h}$为$A$的集合-可访问的元素为$L(G)$。

(a) 证明$\mathfrak{h}$是$L(G)$的谎言子代数。 （使用 § 6 中的习题 19。）

(b) 令$H$为$G$的积分子群，使得$L(H) = \mathfrak{h}$。显示$H \subset A$。 （令$I = [-1, 1]$并令$\mathbf{R}^r$为欧氏范数。令$(x_1, \ldots, x_r)$为$\mathfrak{h}$的基。构造连续映射$\alpha_1, \ldots, \alpha_r$为$I$ $A$ 和从$I^r$到$\mathbf{R}$连续的映射$f_1, \ldots, f_r$，这样，对于$t = (t_1, \ldots, t_r) \in I^r$，

然后应用以下定理：让$f$是$I^r$到$\mathbf{R}^r$的连续映射，使得$\| f(x) - x \| \leq \frac{1}{2}$对于所有$x \in I^r$；那么 $\mathbf{R}^r$ 中的 $f(I^r)$ 包含邻域为 0。†)

† 这源自 Brouwer 修正的点定理，对于例，可查阅 N. Dunford 和 J. T. Schwartz，线性运算符，部分 I（Interscience 出版商，1958 年），第 467-470 页。

(c) 推断$\mathfrak{h}$ 是子代数在$e$ 处与$A$ 相切。 (d) 证明如果 $A$ 是弧向连通的，则 $A = H$.†